游戏中的圆：从几何到实战

不绕弯子，先把这句话说清楚：

圆是啥？
从几何上看：所有到同一个点距离相等的一堆点。
从解析几何上看：这些点，刚好都满足一个方程。
在 Unity 里：圆 = 以某个位置为中心、一定半径的范围（2D/3D 里就是圈 / 球体）。
在 FPS 射击游戏里：

• 手雷爆炸范围
• 范围治疗 / 范围伤害
• 范围探测、雷达扫描
• 击退圈、毒圈、缩圈
  背后全是“圆（或球）”在干活。

下面我会用大白话，一步一步把这件事讲清楚：

1. 圆在几何上的直观定义
2. 用方程来描述圆：解析几何视角
3. 圆的常见计算：点在不在圆里、圆和线怎么交
4. Unity 里如何“画一个圆 / 圈一个范围”
5. 在 FPS 游戏里的圆：爆炸范围、AOE、感知范围等具体用法
6. 一点拓展：从圆到球，从 2D 到 3D
7. 把这些东西串一起的小结

一、圆究竟是个啥？先站在“肉眼几何”的视角看

1.1 小学教过的那句：到定点距离相等的点的集合

小学老师一般会这么说：

圆：平面上到某个固定点距离等于一个定值的点的集合。

翻译成大白话：

• 先在纸上点一个点 O，当圆心；
• 再拿个圆规，脚尖扎在 O 上，把圆规张开 r cm；
• 然后绕一圈画过去；
• 圆规尖尖走过的所有点，就是这个圆。

这里几个关键词：

• “固定点” → 圆心；
• “距离等于一个定值 r” → 半径；
• “所有满足这个条件的点” → 这堆点连起来形成的就是圆。

注意：圆本质上不是一个“粗线条”，而是无数个点组成的边界。

1.2 圆和圆盘：边和里面别搞混

很多人说“圆形”，其实混用了两个概念：

• 圆（circle）：

  • 严格意义上是“边界那条线”——圆周：
  • 到圆心距离等于r 的点。

• 圆盘 / 圆域（disk）：

  • 圆内部 + 圆上的点：
  • 到圆心距离小于等于r 的点。

在游戏里说“爆炸范围”一般指的是“圆盘”（范围区域），
而不是只在圆周上炸一圈。

先把这个概念放在心里，后面讲方程和范围判断会用到。

二、解析几何：用方程描述“到某点距离相等的一堆点”

现在给圆戴上“坐标”和“方程”的帽子。

2.1 平面直角坐标系里的“圆”

建立一个坐标系：

• 水平轴：x 轴；
• 竖直轴：y 轴；
• 原点 O(0,0)。

假设有一个圆：

• 圆心 C 在 (a, b)；
• 半径 r。

按照定义：

点 P(x, y) 在这个圆上
⇔ P 到 C 的距离 = r。

用“平面两点距离公式”来写：

距离 PC = √[(x - a)² + (y - b)²]

条件 PC = r，就是：

√[(x - a)² + (y - b)²] = r

两边平方（r>0，不用担心平方损伤）：

(x - a)² + (y - b)² = r²

这就是一个圆的标准方程。

• 所有满足这个方程的点 (x, y) 都在圆周上；
• 不满足的点，要么在圆内，要么在圆外。

特别地，如果圆心刚好在原点 (0,0)，方程更简单：

x² + y² = r²

2.2 圆的三种“关系”判断：在圆上 / 圆内 / 圆外

给你一个圆：

(x - a)² + (y - b)² = r²

给你一个点 P(x₀, y₀)，想知道它在哪：

1. 计算左边的数：

   S = (x₀ - a)² + (y₀ - b)²

2. 和 r² 比较：

   • 如果 S = r² → 点在圆上；
   • 如果 S < r² → 点在圆内；
   • 如果 S > r² → 点在圆外。

这段逻辑在游戏里就是“判断一个单位是不是在某个范围之内”的基础。

2.3 圆的一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0

你有时候会看到圆写成这样：

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

这是“展开后的版本”。

标准方程：

(x - a)² + (y - b)² = r² x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r² x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0

对应：

D = -2a E = -2b F = a² + b² - r²

反过来，我们也可以通过 D、E、F 把圆心和半径解出来：

• 圆心：(a, b) = (-D/2, -E/2)
• 半径：r = √(a² + b² - F)

不过在游戏开发里，几乎不需要写这么复杂的一般式，
通常都是“一个中心坐标 + 一个半径”的形式。

三、圆的常用几何运算：线和圆怎么交，圆和圆怎么交

虽然游戏里不一定直接写方程，但很多逻辑本质就是“求交点/判断相交”。

3.1 圆与点：是否在范围内

这已经讲过一遍，换一种游戏化说法：

• 爆炸中心：C(cx, cy)；
• 某个敌人位置：P(px, py)；
• 爆炸半径：R；

判断是否被炸到：

dx = px - cx dy = py - cy S = dx*dx + dy*dy if (S <= R*R) // 在爆炸范围内 else // 不在范围内

注意：用的是 S 和 R²，而不是先开根号算距离再比较，
因为开根号比较慢，用平方比大小就行。

这在 Unity 里是非常经典的写法。

3.2 圆与直线：有没有交点，交在哪？

在 2D 中，如果你有：

• 圆：(x - a)² + (y - b)² = r²；
• 直线：y = kx + c；

要找交点：

1. 把直线的 y 代入圆方程；
2. 得到关于 x 的一元二次方程；
3. 解出来 x，再求 y。

判别式 Δ 会告诉你：

• Δ > 0：两个交点（直线穿过圆）；
• Δ = 0：一个交点（切线）；
• Δ < 0：没有交点（直线与圆相离）。

这一套在游戏里可以用来做：

• “子弹轨迹（线）与范围区（圆）的交点”；
• 判断“玩家从哪儿进入某个圆形区域”。

不过，实际游戏里更常用的是射线 + 圆碰撞公式封装（用 Physics 系统）。

3.3 圆与圆：相交 / 相切 / 相离 / 内含

两个圆：

• C1：(x1, y1)，半径 r1
• C2：(x2, y2)，半径 r2

计算它们圆心之间的距离 d：

dx = x2 - x1 dy = y2 - y1 d = √(dx² + dy²)

然后对比 d 和 r1+r2 以及 |r1-r2|：

• 若 d > r1 + r2 → 相离（两个圆离得远，完全不挨着）；
• 若 d = r1 + r2 → 外切（两个圆外部刚好接触一点）；
• 若 |r1 - r2| < d < r1 + r2 → 相交（两个圆重叠，有两个交点）；
• 若 d = |r1 - r2| → 内切（一个在另一个里面，内侧刚好接触）；
• 若 d < |r1 - r2| → 内含（一个完全包在另一个里面，不接触）。

在游戏里，这可以变成：

• “两个范围伤害圆有没有覆盖重叠”；
• “毒圈与安全区的关系”。

不过，实战中经常直接用“圆心距离对比半径和”这最简单一条：

相交/重叠：d <= r1 + r2

四、Unity 里怎么表示“圆”和“圆形范围”？

Unity 本质是 3D 引擎，但可以在 2D/3D 里表达“圆”的概念。

4.1 2D 圆形：CircleCollider2D 和 Gizmos

在 2D 模式下：

• 可以给物体加CircleCollider2D；
• 这就是一个以某点为中心、一定半径的圆形碰撞体。

它可以用于：

• 检测玩家与敌人是否接触；
• 判定攻击范围；
• 触发区域（比如进入某个圈就触发事件）。

如果你只是想在场景视图里画个圆当参考，可以用OnDrawGizmos：

voidOnDrawGizmos(){Gizmos.color=Color.green;DrawCircle(transform.position,radius,32);}voidDrawCircle(Vector3center,floatradius,intsegments){floatangleStep=360f/segments;Vector3prev=center+newVector3(radius,0,0);for(inti=1;i<=segments;i++){floatangle=angleStep*i*Mathf.Deg2Rad;Vector3next=center+newVector3(Mathf.Cos(angle)*radius,Mathf.Sin(angle)*radius,0);Gizmos.DrawLine(prev,next);prev=next;}}

这里通过分段连线的方式近似画圆。

4.2 3D 圆形范围：平面上的半径检查 + SphereCollider

在 3D FPS 里，场景是三维的，但很多范围逻辑是在地面上（水平面）做的：

• 我们可以把“圆”当作“以 (x, z) 为平面坐标的范围”；
• y 是高度，只要在一定差值内就算同一平面。

例如爆炸范围（横向是圆，实际上空间里是个“圆柱体”或球体）。

两个方案：

方案 A：用球碰撞体（SphereCollider）

• 给一个不可见物体加SphereCollider，勾选isTrigger；
• 半径 = 爆炸范围；
• 爆炸时让这个物体激活一下，然后对 OnTriggerEnter 里面的对象施加伤害。

代码概念：

publicclassExplosion:MonoBehaviour{publicfloatradius=5f;publicfloatdamage=100f;voidStart(){Collider[]cols=Physics.OverlapSphere(transform.position,radius);foreach(varcolincols){// 假设有 Health 组件varhp=col.GetComponent<Health>();if(hp!=null){hp.TakeDamage(damage);}}}}

这里的OverlapSphere就是以某点为中心、某个半径的“球体范围检测”。
如果你只在水平面上考虑，那就是个“圆形范围”。

方案 B：手写“圆内检测”（更贴近我们前面讲的公式）

你也可以自己写：

voidDoExplosion(Vector3center,floatradius){Collider[]cols=Physics.OverlapSphere(center,radius);foreach(varcolincols){Vector3targetPos=col.transform.position;// 只在水平面上做圆判断，不管高度Vector2c=newVector2(center.x,center.z);Vector2p=newVector2(targetPos.x,targetPos.z);floatsqrDist=(p-c).sqrMagnitude;if(sqrDist<=radius*radius){// 在圆形范围内}}}

虽然用了 OverlapSphere 找到“可能在范围内”的物体，
但进一步筛选“在水平面上的圆内/圆外”，就是我们前面讲的“圆方程判定”。

五、FPS 射击游戏里，“圆”的各种实际用法

下面我们从玩家视角出发，看看 FPS 游戏里，到底有多少地方在悄悄用“圆”。

5.1 手雷 / 榴弹 / 火箭弹的爆炸范围：伤害圆

场景：
你丢一颗手雷，砰的一声爆炸，
附近的敌人都掉血，离得越近伤害越高。

这背后就是：

爆炸点为圆心，某个半径为边界的圆形（或球形）区域，
所有在这个区域里的敌人都受影响。

典型逻辑：

1. 爆炸发生时，用 OverlapSphere 找到周围一定半径内的所有碰撞体；
2. 对每个目标算“距离爆心的距离”；
3. 根据距离算伤害（可能是线性衰减 / 指数衰减 / 表定档位）。

伪代码：

voidExplode(){Collider[]cols=Physics.OverlapSphere(transform.position,radius);foreach(varcolincols){varhp=col.GetComponent<Health>();if(hp!=null){floatdist=Vector3.Distance(transform.position,col.transform.position);floatdamageFactor=Mathf.Clamp01(1-dist/radius);// 越近越接近 1floatfinalDamage=maxDamage*damageFactor;hp.TakeDamage(finalDamage);}}}

如果只想简化为“在范围内全吃满伤害”：

• 只需判断dist <= radius或sqrDist <= radius²。

这就是圆的典型 FPS 用法之一：爆炸伤害圈。

5.2 范围技能 / AOE：治疗圈 / 增益圈 / 减速圈

很多 FPS + RPG 混合玩法里有这些东西：

• 医疗圈：在某个点释放，范围内队友持续回血；
• 减速圈：敌人走进去移动速度变慢；
• 增益圈：站在圈里攻击力/防御力提升；
• 静滞场：子弹进到圈里变慢、甚至停下。

这些都是以某点为中心、一定半径的“圆形区域效果”。

实现方式和爆炸差不多，只是多了“持续时间”：

• 每帧 / 每秒检查在圆内的单位；
• 对在圆内的单位施加Buff/伤害/减速等；
• 离开圆就移除效果。

可以用触发器（Trigger）+OnTriggerEnter/OnTriggerExit+ 半径为范围的 Collider，
也可以每帧Physics.OverlapSphere+ 手动判断。

5.3 视野范围 / 感知范围：谁在我的“雷达圈”里？

敌人 AI 常见的设定：

• 有一个“视野角度”（前方扇形）；
• 有一个“最大视距”（圆形范围）。

这里“最大视距”就是一个以敌人位置为圆心、半径为视距的圆（如果只看平面）。

怎么判断玩家在不在这个“感知圆”里？

1. 计算敌人与玩家之间的水平距离：

   • dx = player.x - enemy.x
   • dz = player.z - enemy.z

2. 算平方距离：dx² + dz²；

3. 比较和视距²：

   if((dx*dx+dz*dz)<=viewRadius*viewRadius){// 在感知范围内}

再叠加上“视野角”（点乘判断夹角）和“射线检测有无遮挡”，就是完整的视线逻辑。

5.4 雷达、扫描、地图圈：UI 上的“圆形高亮”

在 FPS 游戏里你经常看到：

• 小地图中，一个圆形范围表示你的雷达扫描范围；
• 扫描技能开启时，一个圈从角色辐射出去，圈到的敌人被标记；
• 毒圈 / 安全区 / 电磁圈：一个不断缩小的圆把战场越收越小。

这些更多是视觉表现上的圆，
背后逻辑仍然是“范围判断”。

例如：雷达扫描效果：

1. 启动扫描，半径从 0 缓慢增大到最大值；

2. 每帧：

   • 根据当前半径 R，找到OverlapSphere(center, R)内的敌人；
   • 把这些敌人标记出来（在 UI 上画个红点）。

视觉上则用：

• LineRenderer 画一个圆圈；
• 用 shader 在地面上画一个 expanding circle；
• 用 UI 画一个放大中的圆形框。

这些圆的绘制，一般都是通过三角形拼出来的，但逻辑上你就当“画圆”就行。

5.5 近战攻击圆 / 判定圈：谁在我身边一圈都挨打

很多 FPS 里的近战攻击，其实不是一个小矩形，而是：

• 以玩家位置为中心；
• 在身体前方开一个扇形 / 半圆形；
• 范围内的敌人全部受到伤害。

简化一点的实现直接用圆：

• 玩家位置 = 圆心；
• 半径 = 武器攻击范围（加上一点前方偏移）；
• 检测“在圆内的敌人”，都算命中。

Unity 实现也非常直接：OverlapSphere + 距离判定。

六、从圆到球：FPS 中其实用得更多的是“球形范围”

虽然我们一直在说“圆”，但 FPS 场景是 3D 的，
大部分“范围”其实是个“球体”，只是在设计上更多关注水平投影。

6.1 球的解析几何方程：三维版的圆

球心在 (a, b, c)，半径 R 的球：

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

类比圆的方程，仅仅多了一个维度。

点 P(x₀, y₀, z₀) 在球内/球外判断：

S = (x₀ - a)² + (y₀ - b)² + (z₀ - c)² if (S < R²) 在球内 if (S = R²) 在球面上 if (S > R²) 在球外

Unity 的Physics.OverlapSphere就是在做这个事：
把这个球内的所有碰撞体找出来。

6.2 在 FPS 里如何折中：球体 + 水平面“圆”的双重视角

大多数 FPS 的“范围逻辑”其实是这么用的：

• 底层检测用“球体”：方便、简单、性能好；
• 策划设计和玩家理解时，在脑子里更偏“地面上的一个圆圈”。

比如爆炸效果：

• 逻辑上：OverlapSphere找到球体内所有敌人；
• 视觉上：在地面画一个圆形爆炸纹理 / 冲击波；
• 玩家感知：站在圈里就会被炸。

所以，你可以记一句：

数学上：圆是 2D，球是 3D；
游戏里：很多“圆”其实是球，只是我们习惯在地上看投影。

七、把“圆 + Unity + FPS 应用”串成一整套理解

最后，用一段比较系统的总结，把前面所有内容串起来。

7.1 数学层面的“圆”

• 几何定义：

  • 圆 = 平面上所有到某个点距离等于 r 的点；
  • 圆盘 = 距离小于等于 r 的点集合。

• 解析几何表示：

  • 标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²；
  • 特例（圆心在原点）：x² + y² = r²。

• 位置关系判断：

  • 对点 P(x₀, y₀)：
    • 算S = (x₀ - a)² + (y₀ - b)²；
    • S 与 r² 比较 → 在圆上/圆内/圆外。

• 圆与线、圆与圆相交：

  • 利用代入、距离比较、判别式等方法可求交点和相交关系。

7.2 Unity 中的“圆 / 圆形范围”

• 2D：

  • CircleCollider2D表示圆形碰撞区；
  • 中心 + 半径。

• 3D：

  • Physics.OverlapSphere+ 距离判断 → 球体范围（投影到平面就是圆形范围）；
  • 或者手写二维 (x,z) 距离来做平面圆判断。

• 绘制：

  • Gizmos 画圆辅助；
  • LineRenderer 或 mesh 拼出来的圆圈/环；
  • Shader 在地面上画一个圆形贴图 / 动态扩散圈。

7.3 FPS 射击游戏中的圆形相关玩法

1. 爆炸范围（半径伤害）

   • 爆炸点为圆心，固定半径；
   • 以球体检测范围内敌人，按距离衰减伤害。

2. 范围技能 / AOE

   • 医疗圈、减速圈、增益圈；
   • 持续判定“在圆内”的单位，施加效果。

3. 视野范围 / 感知圈

   • 敌人 AI 的最大感知距离；
   • 用平面圆判断玩家在不在这个范围内。

4. 雷达 / 探测 / 扫描圈

   • 动态扩散的圆形可视化；
   • 半径随时间增长的“范围查找”。

5. 近战范围 / 判定圈

   • 用圆形/球体范围检测周围单位，决定被打到谁。

6. 毒圈 / 安全区 / 战术圈

   • 圆形区域不断缩小；
   • 判断玩家在圈内还是圈外，决定扣血或安全。

7.4 一句把“圆”真装进脑子里的话

再用一句彻底大白话帮你收个尾：

在数学里，圆就是那堆“到某个点距离相等”的点，
写成方程就是(x - a)² + (y - b)² = r²。

在 Unity 里，这堆点变成：
“以某个坐标为中心、半径为 r 的范围检测”，
用 OverlapSphere 或自己算距离就能搞定。

在 FPS 游戏里，你看到的所有“范围爆炸”“治疗圈”“感知圈”“雷达圈”，
无论效果多炫，底层一般都只是：
判断一堆单位的坐标，是不是在“某个点为圆心、某个半径的圆（或球）”里面。

当你能从“纸上的圆”自然联想到：

• Unity 的 SphereCollider / OverlapSphere；
• FPS 里的各种圈圈范围逻辑；

说明你已经真的把“圆：用方程描述到某点距离相等的一堆点，以及在 Unity 和 FPS 游戏中的应用”这件事吃透了。