[数字信号处理-入门] 采样定理
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注：本文仅对所述内容做了框架性引导，具体细节可查询其余相关资料or源码
参考文章：各方资料
文章目录
- [数字信号处理-入门] 采样定理
- 个人导航
- 时域采样
- 输入
- 重建与混叠
- 频域采样
- DFT的频率范围
- 时域与频域采样的对偶关系
- 例题
时域采样
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| f h f_hfh | 信号最高频率 |
| f s f_sfs | 采样频率 |
| T TT | 采样周期 |
奈奎斯特抽样定理:
f s > 2 f h f_s>2f_hfs>2fh
输入
输入为带限信号
(信号的频率成分只分布在0~f h f_hfh范围内，f h f_hfh为最高截止频率)
奈奎斯特频率/折叠频率:f s / 2 f_s/2fs/2
采样周期:T = 1 / f s T=1/f_sT=1/fs
(x ( n T ) x(nT)x(nT)是x ( t ) x(t)x(t)在t = n T t=nTt=nT时刻的采样值)
采样角频率:w s = 2 π f s w_s=2\pi f_sws=2πfs
重建与混叠
若f s ≤ 2 f h f_s≤2f_hfs≤2fh，会发生混叠（高频分量会折叠到低频区域），无法无失真重建原始信号
重建信号: 用离散的采样点恢复的连续时间信号
频率f ff的信号被f s f_sfs采样后, 若混叠:
- 重建信号的频率=∣ f − n f s ∣ \mathbf{|f-nf_s|}∣f−nfs∣
- n取让结果最接近0的数
采样后的离散信号频谱，是原始连续信号频谱以采样角频率w s w_sws为周期进行周期性延拓得到的
频域采样
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| Δ f ΔfΔf | 频率分辨率(频率间隔) |
| T 0 T_0T0 | 延拓周期 |
| T TT | 信号持续时间 |
理论基础是傅里叶变换的对偶性
T ≤ T 0 T \leq T_0T≤T0
信号持续时间:T TT
延拓周期:T 0 = 1 / Δ f T_0=1/ΔfT0=1/Δf
若对X ( j ω ) X(jω)X(jω)在频域以频率间隔Δ f ΔfΔf进行采样，采样点数为N NN，则对应的时域信号会被周期延拓，延拓周期T 0 = 1 / Δ f T_0=1/ΔfT0=1/Δf
为了使时域延拓后的信号不发生重叠，原始时域信号x(t)必须是时限信号
设原始时域信号x ( t ) x(t)x(t)的持续时间为T TT，为避免时域延拓重叠，需选择频域采样间隔Δ f ≤ 1 / T Δf≤1/TΔf≤1/T，即延拓周期T 0 = 1 / Δ f ≥ T T₀=1/Δf≥TT0=1/Δf≥T
频域采样点数N与采样间隔Δf的关系：N = f s / Δ f N=f_s/ΔfN=fs/Δf
DFT的频率范围
DFT 的频谱范围由采样频率f s f_sfs决定
- 实际覆盖0 ∼ f s / 2 0∼f_s/20∼fs/2（正频率范围）
->所能分辨的最高频率:f s / 2 f_s/2fs/2 - 但频率索引对应0 ∼ f s 0∼f_s0∼fs（含负频率混叠）
时域与频域采样的对偶关系
| 对比维度 | 时域采样 | 频域采样 |
|---|---|---|
| 操作对象 | 连续时域信号x(t) | 连续频域信号X(jω) |
| 核心定理 | 奈奎斯特定理：fₛ>2fₕ（避免频域重叠） | 频域采样定理：T₀≥T（避免时域重叠） |
| 结果影响 | 频域周期性延拓 | 时域周期性延拓 |
| 失真类型 | 混叠失真（频域重叠） | 时域重叠失真 |
时域采样关注“避免频域混叠”，核心是采样频率大于2倍最高截止频率
频域采样关注“避免时域重叠”，核心是延拓周期大于原始时域信号的持续时间
两者通过傅里叶变换对偶性关联，共同构成离散信号处理的基础（如DFT、FFT的理论前提）
