一阶直线倒立摆MATLAB/Simulink仿真 （1）模型推导 + 仿真工程 （2）讲解服务 主要保留模型的非线性动力学特性，即不在平衡点做线性化处理； （1）MathType 详细推导二阶非线性微分方程 （2）S-Function 实现非线性连续状态空间模型 （3）测试离散PID控制倒立摆重心变化适应性 #倒立摆 #MATLAB #Simulink #离散控制 #S-Function
先看物理模型：小车质量M=0.5kg，摆杆质量m=0.2kg，杆长l=0.3m。直接甩出牛顿-欧拉方程，别搞什么泰勒展开近似那套。推出来的二阶非线性微分方程长这样：
θ'' = (g*sinθ - cosθ*(u + mlθ'²sinθ)/(M+m)) / ( (4/3)l - (mlcos²θ)/(M+m) )这式子看着就酸爽，分母里的cos平方项是导致非线性的罪魁祸首。用Simulink建模的时候千万别手欠去勾选"Linearize at initial condition"，咱们要的就是原汁原味的非线性。
上硬货——S-Function实现。核心代码得这么写：
function sys=mdlDerivatives(t,x,u) g = 9.8; M = 0.5; m = 0.2; l = 0.3; theta = x(1); dtheta = x(2); denominator = (4/3)*l - (m*l*cos(theta)^2)/(M+m); theta_dd = (g*sin(theta) - cos(theta)*(u + m*l*dtheta^2*sin(theta))/(M+m)) / denominator; sys = [dtheta; theta_dd]; end这段代码的精髓在于严格保持分母结构的完整性。注意看第7行分母计算，这里要是手滑少个项，整个模型就直接崩了。建议把参数声明放在函数内部而不是开头，这样后面做参数自适应的时候改起来方便。
测试离散PID时，采样周期别超过0.02秒。用Simulink的PID模块记得改离散模式：
Kp = 15; Ki = 8; Kd = 3; Ts = 0.01; discretePID = pid(Kp,Ki,Kd,Ts,'Ts',Ts,'Formula','Ideal');重点观察当摆杆重心突然变化时（比如加载payload），微分项的表现。实战中发现当杆长突然变短时，D参数需要动态调整，这里埋个伏笔——可以加个增益调度器。
一阶直线倒立摆MATLAB/Simulink仿真 （1）模型推导 + 仿真工程 （2）讲解服务 主要保留模型的非线性动力学特性，即不在平衡点做线性化处理； （1）MathType 详细推导二阶非线性微分方程 （2）S-Function 实现非线性连续状态空间模型 （3）测试离散PID控制倒立摆重心变化适应性 #倒立摆 #MATLAB #Simulink #离散控制 #S-Function
仿真结果可能会看到些有趣现象：当摆角超过30度时，线性PID开始抽风，而非线性模型下的控制器反而更稳定。这是因为非线性模型保留了cosθ的耦合特性，相当于自带前馈补偿。
最后说个坑：Simulink的微分器模块在离散模式下容易放大噪声，建议在D通道加个一阶低通滤波，截止频率设为主频的1/5左右。这招能有效抑制执行器的高频抖动，亲测好用。
文件结构得这么安排：
Root/ ├── NonlinearModel.slx ├── sfun_pendulum.m └── testCases/ ├── normal.mat └── payloadChange.mat跑仿真时注意初始角度别设绝对零度，给个0.1rad的初始偏移更符合实际情况。毕竟现实中没有绝对平衡，这样也能检验控制器的抗扰能力。
