Z4 上自对偶码的研究
1. 引言
在编码理论中，自对偶码是一类重要的码。像八进制码和一些扩展的 Z4 - 二次剩余码等都属于自对偶码。对 Z4 上自对偶码的研究在很多方面与 Fq 上自对偶码的研究相似，但也存在重要差异，比如 Z4 上存在奇数长度的自对偶码，像长度为 7 的自对偶循环码就有三个。
2. Z4 上自对偶码的类型
根据码中码字的欧几里得重量，可将 Z4 上的自对偶线性码分为 Type I 和 Type II 两类：
-Type II 码：若自对偶 Z4 线性码中每个码字的欧几里得重量都是 8 的倍数，则该码为 Type II 码。Type II 码仅在长度 (n \equiv 0 \pmod{8}) 时存在，且这类码中包含所有坐标为 ±1 的码字。例如，长度为 (p + 1)（(p \equiv -1 \pmod{8})）的扩展 Z4 - 二次剩余码就是 Type II 码。
-Type I 码：若自对偶 Z4 线性码中存在某个码字的欧几里得重量不是 8 的倍数，则该码为 Type I 码。
3. 欧几里得重量的上界
对于 Z4 上长度为 (n) 的自对偶码 (C)，有如下欧几里得重量上界定理：
- 若 (C) 是 Type II 码，则 (C) 的最小欧几里得重量至多为 (8 \lfloor n/24 \rfloor + 8)。
- 若 (C) 是 Type I 码，除 (n \equiv 23 \pmod{24}) 时，(C) 的最小欧几里得重量至多为 (8 \lfloor n/24 \rfl
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