前面一篇文章”事件相互独立的等价命题-B事件的发生与否不会影响A事件的发生概率“，说到了“事件相互独立的等价命题“是
其实还有一个更简单的条件成立就可以推出A,B独立。就是只要满足B的发生不会影响A发生的概率就足够了。
以下展开严格的数学证明：
命题证明：P(A∣B)=P(A) ⟺ P(A∣B‾)=P(A)P(A|B)=P(A) \iff P(A|\overline{B})=P(A)P(A∣B)=P(A)⟺P(A∣B)=P(A)
前置公式
条件概率：
P(A∣B)=P(AB)P(B)(P(B)>0),P(A∣B‾)=P(AB‾)P(B‾)(P(B‾)>0) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \quad (P(B)>0),\quad P(A|\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} \quad (P(\overline{B})>0)P(A∣B)=P(B)P(AB)(P(B)>0),P(A∣B)=P(B)P(AB)(P(B)>0)
事件拆分：A=AB∪AB‾A=AB\cup A\overline{B}A=AB∪AB，ABABAB与AB‾A\overline{B}AB互斥⇒P(A)=P(AB)+P(AB‾)\Rightarrow P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})⇒P(A)=P(AB)+P(AB)
① 正向：P(A∣B)=P(A) ⟹ P(A∣B‾)=P(A)P(A|B)=P(A)\implies P(A|\overline{B})=P(A)P(A∣B)=P(A)⟹P(A∣B)=P(A)
P(A∣B)=P(A) ⟹ P(AB)P(B)=P(A) ⟹ P(AB)=P(A)P(B)P(AB‾)=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(B‾)⇒P(AB‾)P(B‾)=P(A) ⟹ P(A∣B‾)=P(A) \begin{align*} P(A|B)=P(A) &\implies \frac{P(AB)}{P(B)}=P(A) \implies P(AB)=P(A)P(B)\\ P(A\overline{B}) &= P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\big[1-P(B)\big]=P(A)P(\overline{B})\\ \Rightarrow \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}&=P(A) \implies \boldsymbol{P(A|\overline{B})=P(A)} \end{align*}P(A∣B)=P(A)P(AB)⇒P(B)P(AB)⟹P(B)P(AB)=P(A)⟹P(AB)=P(A)P(B)=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(B)=P(A)⟹P(A∣B)=P(A)
② 反向：P(A∣B‾)=P(A) ⟹ P(A∣B)=P(A)P(A|\overline{B})=P(A)\implies P(A|B)=P(A)P(A∣B)=P(A)⟹P(A∣B)=P(A)
P(A∣B‾)=P(A) ⟹ P(AB‾)P(B‾)=P(A) ⟹ P(AB‾)=P(A)P(B‾)P(AB)=P(A)−P(AB‾)=P(A)−P(A)P(B‾)=P(A)[1−P(B‾)]=P(A)P(B)⇒P(AB)P(B)=P(A) ⟹ P(A∣B)=P(A) \begin{align*} P(A|\overline{B})=P(A) &\implies \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=P(A) \implies P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})\\ P(AB) &= P(A)-P(A\overline{B})=P(A)-P(A)P(\overline{B})=P(A)\big[1-P(\overline{B})\big]=P(A)P(B)\\ \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(B)}&=P(A) \implies \boldsymbol{P(A|B)=P(A)} \end{align*}P(A∣B)=P(A)P(AB)⇒P(B)P(AB)⟹P(B)P(AB)=P(A)⟹P(AB)=P(A)P(B)=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(B)=P(A)⟹P(A∣B)=P(A)
结论
P(A∣B)=P(A) ⟺ P(A∣B‾)=P(A)P(A|B)=P(A)\iff P(A|\overline{B})=P(A)P(A∣B)=P(A)⟺P(A∣B)=P(A)，等价于：A、B\boldsymbol{A、B}A、B相互独立⟺ A、B‾\iff \boldsymbol{A、\overline{B}}⟺A、B相互独立。
拓展推论（独立补集四组独立）
若A,BA,BA,B独立，则下列全部两两独立：
- A,BA,BA,B
- A,B‾A,\overline{B}A,B
- A‾,B\overline{A},BA,B
- A‾,B‾\overline{A},\overline{B}A,B
实例验证
当 p(a)=6行/8行=3/4
p(a|b)=3行/4行=3/4 即p(a)=p(a|b)的时候，
p(a|b否)=3/4,于是p(a|b否)=p(a)，验证了当p(a|b)=p(a)就能推出p(a|b否)=p(a)
p(ab)=3/8,p(a)=3/4,p(b)=4/8=1/2,于是验证了p(ab)=p(a)p(b)
p(b|a)=3行/6行=1/2,p(b)=4/8=1/2,于是验证了当p(a|b)=p(a)就能推出p(b|a)=p(b)
总结
- 想证明事件A,B独立其实不需要太多，只要满足两个事件中只要有一个不会影响另外一个的发生即可。而且可以得到，两个事件的补事件和两个事件之间任意两个都不会相互影响。
- 应用到“制造噪音”不影响“罚篮命中率”的例子上面，就是也能推出“罚篮”不会影响“制造噪音”，它们之间互相不干涉。但只要“制造噪音”影响了“罚篮命中率”，那么“罚篮”就一定会影响“制造噪音”的发生概率，它们之间在物理世界就会有着某种内在的联系，就值得去向这增加或减少某一个事件的方向去努力
- 当然这里还要区分结果和原因。如果是结果就可以专门挑选出结果有利的事件去增大或减少另外一个事件的可能性。如果是原因，就可以主动创造或消除去增大或减少另外一个事件的可能性。
