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作者：孙晓艺 (厦门大学)
邮箱：sunnalzu202107@163.com
- 分类：因果推断
- Title: 样本选择偏差：为什么按结果变量筛选样本会让 OLS 有偏？
- Keywords: Heckman模型, 样本选择偏误, 逆米尔斯比率, IMR, Mills Ratio, selection bias, sample selection bias
- 提要：本文通过蒙特卡洛模拟表明，样本选择偏差不是简单由「删掉一部分观测」造成的，而是由样本进入规则是否改变误差项与解释变量的关系决定。文章提供 Stata 复现代码，并进一步介绍 Heckman 两步法、逆 Mills 比率和 mroz.dta 实例。
Source：本文参考 Ben Davies 的博客文章 Understanding selection bias 改写，并补充 Stata 复现代码。特此致谢。
1. 问题：删样本为什么可能让回归有偏？
实证研究中，删样本很常见。我们可能只保留有工资收入的个体来估计教育回报，只保留上市公司来研究企业绩效，也可能只分析销售额、利润或出口额为正的企业。很多时候，研究者会担心这种样本筛选会带来「样本选择偏差」(sample selection bias)。
但需要说明的是，删样本本身并不必然导致 OLS 有偏。真正关键的是：进入样本的规则是否与回归方程中的不可观测误差项有关。
本文用一个最小模拟例子说明这个问题。假设真实模型为：
yi=βxi+uiyi=βxi+ui
其中，β=1β=1，xixi 与 uiui 相互独立。现在比较两种样本限制：
- 只保留 xi≥0xi≥0 的观测；
- 只保留 yi≥0yi≥0 的观测。
结果会看到，第一种限制基本不会破坏 OLS 的无偏性，而第二种限制会使 OLS 估计值明显低于真实参数。这个差异揭示了样本选择偏差的核心机制：样本进入规则是否把误差项 uiui 带进了选择过程。
2. 一个最小模拟例子
设数据生成过程为：
yi=βxi+ui,β=1yi=βxi+ui,β=1
其中，xixi 和 uiui 均服从标准正态分布，且二者相互独立：
xi∼N(0,1),ui∼N(0,1),xi⊥uixi∼N(0,1),ui∼N(0,1),xi⊥ui
在这个设定下，OLS 估计量可以写为：
β^=Cov(x,y)Var(x)β^=Var(x)Cov(x,y)
由于真实模型为 yi=xi+uiyi=xi+ui，且 xixi 与 uiui 独立，因此在完整样本中：
Cov(x,y)=Cov(x,x+u)=Var(x)+Cov(x,u)=Var(x)Cov(x,y)=Cov(x,x+u)=Var(x)+Cov(x,u)=Var(x)
所以总体意义上有：
β=Cov(x,y)Var(x)=1β=Var(x)Cov(x,y)=1
需要区分的是，β=1β=1 是真实参数；在一次有限样本模拟中得到的 β^β^ 可能不等于 1。例如，原文使用 n=100n=100 的随机模拟得到：
β^=1.138795β^=1.138795
这个数不是新的真实参数，而只是一次模拟中的样本估计值。若重复模拟很多次，β^β^ 的平均值会接近真实参数 1。
3. 只保留 xi≥0xi≥0：为什么 OLS 仍然近似无偏？
先看第一种样本限制：只保留 xi≥0xi≥0 的观测。定义选择变量：
Six=1{xi≥0}Six=1{xi≥0}
此时，进入样本的条件只取决于解释变量 xixi。由于在原始数据生成过程中 xixi 与 uiui 独立，即使只保留 xi≥0xi≥0 的观测，也不会改变误差项相对于 xixi 的条件均值：
E(ui∣xi,Six=1)=E(ui∣xi)=0E(ui∣xi,Six=1)=E(ui∣xi)=0
这意味着，在这个特定设定下，选择 xi≥0xi≥0 的样本不会破坏 OLS 的关键外生性条件。直观地说，虽然样本变小了，xixi 的分布也变了，但误差项 uiui 并没有因为这个选择规则而系统性地变大或变小。因此，用这个子样本估计 yiyi 对 xixi 的回归，仍然可以得到接近真实值的斜率估计。
原文模拟结果显示，在只保留 xi≥0xi≥0 的样本中，OLS 估计值约为：
β^=1.02β^=1.02
它与真实参数 β=1β=1 非常接近。
4. 只保留 yi≥0yi≥0：为什么 OLS 明显有偏？
再看第二种样本限制：只保留 yi≥0yi≥0 的观测。定义选择变量：
Siy=1{yi≥0}Siy=1{yi≥0}
由于 yi=xi+uiyi=xi+ui，所以上式等价于：
Siy=1{xi+ui≥0}Siy=1{xi+ui≥0}
这时，选择规则不再只取决于解释变量 xixi，而是同时取决于误差项 uiui。这正是问题所在。
如果 xixi 很低，一个观测要进入 yi≥0yi≥0 的样本，就必须有较高的 uiui 来抵消较低的 xixi；如果 xixi 很高，那么即使 uiui 较低，该观测也可能进入样本。因此，在被选择出来的样本中，xixi 与 uiui 会被选择机制诱导出负相关关系。
换句话说，完整样本中 xixi 与 uiui 独立，但在 yi≥0yi≥0 的子样本中，二者不再独立。OLS 所需要的外生性条件被破坏：
E(ui∣xi,Siy=1)≠0E(ui∣xi,Siy=1)=0
这就是样本选择偏差的核心。不是因为样本少了，也不是因为只看了 yiyi 为正的观测本身有什么神秘之处，而是因为这个选择条件把误差项 uiui 纳入了样本进入机制。
下图用一个白板示意图概括了这三种情形的差异。左图是完整样本，中图只保留 xi≥0xi≥0，右图只保留 yi≥0yi≥0。关键区别不在于删掉了多少样本，而在于是否把误差项 uiui 带入了样本选择过程。
在 yi≥0yi≥0 的子样本中，可以把 uiui 对 xixi 做一个线性投影：
ui=ρxi+εiui=ρxi+εi
其中，ρ<0ρ<0 表示在被选择样本中 xixi 与 uiui 的负相关关系，εiεi 是与 xixi 不相关的残差项。把这个式子代入原始模型：
yi=βxi+uiyi=βxi+ui
可得：
yi=(β+ρ)xi+εiyi=(β+ρ)xi+εi
因此，在 yi≥0yi≥0 的样本中，OLS 估计到的不是 ββ，而是 β+ρβ+ρ。由于 ρ<0ρ<0，所以估计值会低于真实参数 ββ。
原文模拟结果显示，在只保留 yi≥0yi≥0 的样本中：
β^=0.356β^=0.356
同时，由于这是模拟数据，我们能观察到真实误差项 uiui，因此可以计算：
ρ^=Cov(u,x)Var(x)≈−0.644ρ^=Var(x)Cov(u,x)≈−0.644
于是：
β^−ρ^≈0.356−(−0.644)=1β^−ρ^≈0.356−(−0.644)=1
这说明 β^β^ 偏离真实参数的原因，正是选择机制诱导出的 ρ^ρ^。不过，在真实实证研究中，研究者通常观测不到 uiui，因此无法直接估计 ρ^ρ^ 并把真实参数反推出来。
5. 用 Stata 复现这个例子
下面给出一份可以直接运行的 Stata 代码。代码分为三步：生成模拟数据、比较三类样本的 OLS 斜率、画图展示选择机制。
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