层次分析法

(The analytic hierarchy process,简称AHP)
建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀）。

评价类问题可以用打分解决。

同颜色的单元格的和为1，它们表示的针对某一因素所占的权重。

小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
1.我们评价的目标是什么？
2.我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
3.评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

分治思想：

分而治之：我们先来确定指标的权重吧~
问题：一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。
解决方法：两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

总结：上面这个表是一个5×5的方阵，我们记为A，对应的元素为aj。
这个方阵有如下特点：
(1）aij表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度。
(2）当i=j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
(3)aij>0且满足aij×aji=1（我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵）
实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

苏杭=A，北戴河=B，桂林＝C
苏杭比北戴河景色好一点：A>B
苏杭和桂林景色一样好：A=C
北戴河比桂林景色好一点：B>C
出现了矛盾之处：（不一致的现象）
（要是把左表中的2换成更大的数，那么不一致会更加严重）

一致矩阵：

各行（各列）之间成倍数关系

若矩阵中每个元素aij>0且满足aij×aji=1，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
若正互反矩阵满足aij×ajk=aik，则我们称其为一致矩阵。
注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

一致性检验
原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

引理：A为n阶方阵，且r(A)=1，则A有一个特征值为tr（A)，其余特征值均为0.
因为一致矩阵的各行成比例，所以一致矩阵的秩一定为1.
由引理可知：一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0.

另外，我们很容易得到，特征值为n时，对应的特征向量刚好为

若正互反矩阵（判断矩阵）满足aij×ajk=aik，则我们称其为一致矩阵。
引理：n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值入max
且当正互反矩阵A非一致时，一定满足入max>n.

判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差就越大

一致性检验的步骤：