【信息科学与工程学】【数据科学】 数学基础38 测度论

1

概念

数学

实分析/测度论

集合论基础

A∪B={x:x∈A 或 x∈B}
A∩B={x:x∈A 且 x∈B}
Ac={x:x∈Ω,x∈/A}
A∖B=A∩Bc

1.目标：定义基本集合运算，它们是构造复杂集合并讨论其性质的基础。
2.思路：基于逻辑“或”、“且”、“非”来定义集合的并、交、补。
3.补集：必须指定一个“全集”Ω，Ac是相对于Ω的补。
4.差集：A中去掉B中的元素，等价于A与B的补集的交集。

Ω：全集/样本空间
A,B：Ω的子集
x：集合中的元素

布尔代数、逻辑运算、集合代数

2

概念

数学

实分析/测度论

集合论基础

⋃n=1∞​An​={x:∃n∈N,x∈An​}
⋂n=1∞​An​={x:∀n∈N,x∈An​}

1.目标：将并和交运算推广到可数多个集合。
2.可数并：存在性(∃)。元素x只要属于序列{An​}中至少一个集合，就属于其可数并。
3.可数交：全称性(∀)。元素x必须属于序列{An​}中的每一个集合，才属于其可数交。

{An​}n=1∞​：一列集合（可数无穷个）
N：自然数集
∃：存在量词
∀：全称量词

集合序列的极限、上极限、下极限

3

概念

数学

实分析/测度论

集合论基础

limsupn→∞​An​=⋂n=1∞​⋃k=n∞​Ak​
liminfn→∞​An​=⋃n=1∞​⋂k=n∞​Ak​

1.目标：定义集合序列的极限，类比数列的上极限和下极限。
2.上极限​ limsupAn​：元素x属于无穷多个An​。
- 思考：如何刻画“属于无穷多个”？
- 构造：对每个起始下标n，考虑从n开始的“尾巴”⋃k=n∞​Ak​。如果x属于这个并，意味着x在n之后至少出现一次。
- 再取交集：⋂n=1∞​(⋃k=n∞​Ak​)。如果x属于这个交集，意味着对每个起始n，x都在n之后的某个集合中出现。这意味着x在序列中出现了无限多次。
3.下极限​ liminfAn​：元素x最终总是属于An​（即只不属于有限个An​）。
- 思考：如何刻画“最终总是属于”？
- 构造：对每个起始下标n，考虑从n开始的“尾巴”⋂k=n∞​Ak​。如果x属于这个交，意味着x在n之后总是出现。
- 再取并集：⋃n=1∞​(⋂k=n∞​Ak​)。如果x属于这个并集，意味着存在某个起始下标N，使得x在N之后总是出现。这意味着x从某个点之后再也没有离开过序列。

{An​}n=1∞​：一列集合

数列的上下极限、Borel-Cantelli引理

4

概念

数学

实分析/测度论

集合论基础

limn→∞​An​=A⟺limsupn→∞​An​=liminfn→∞​An​=A

1.目标：定义集合序列收敛。
2.思路：类比实数的收敛，当上下极限相等时，序列收敛。
3.推理：若limsupAn​=liminfAn​=A，则A中的元素恰是那些“最终总是属于An​”的元素，也是那些“属于无穷多个An​但不属于无穷多个Anc​”的元素。

{An​}n=1∞​：一列集合
A：一个集合

单调集合序列的极限

5

概念

数学

实分析/测度论

集合论基础

若A1​⊂A2​⊂A3​⊂...，则limn→∞​An​=⋃n=1∞​An​。
若A1​⊃A2​⊃A3​⊃...，则limn→∞​An​=⋂n=1∞​An​。

1.目标：对单调集合序列，给出极限的简单表达式。
2.递增序列：
- 对递增序列，⋃k=n∞​Ak​=⋃k=1∞​Ak​对任意n成立。因此limsupAn​=⋂n​⋃k≥n​Ak​=⋃k​Ak​。
- 同时，⋂k=n∞​Ak​=An​。因此liminfAn​=⋃n​An​。
- 由于序列递增，⋃n​An​=⋃n​An​。实际上，极限就是所有集合的并。
3.递减序列：同理可证，极限就是所有集合的交。

{An​}n=1∞​：单调递增/递减的集合序列

集合的连续性、测度的连续性

6

概念

数学

实分析/测度论

集类

A⊂2Ω， 其中2Ω是Ω的幂集。

1.目标：形式化“一堆集合的集合”这个概念。
2.思路：全集Ω的所有子集构成一个巨大的集合2Ω。
3.集类：我们关心的往往是2Ω的某个子集A，A本身是一个集合，其元素是Ω的子集。我们称A为一个“集类”或“集合族”。

Ω：全集
2Ω：Ω的幂集，即所有子集的集合
A：一个集类，是2Ω的子集

代数、σ-代数、拓扑

7

定义

数学

实分析/测度论

集类-代数

集类A⊂2Ω称为一个代数（或域），如果满足：
1. Ω∈A。
2. 对差封闭：若A,B∈A，则A∖B∈A。
3. 对有限并封闭：若A1​,...,An​∈A，则⋃i=1n​Ai​∈A。

1.动机：我们希望一个“好的”集类在有限次集合运算下是稳定的，以便进行推理。
2.条件1（全集）：保证全集是可操作的。
3.条件2（差）：结合条件1，可推出对补集封闭：Ac=Ω∖A∈A。
4.条件3（有限并）：结合对补集封闭，利用德摩根定律可推出对有限交也封闭：A∩B=(Ac∪Bc)c∈A。
5.总结：代数在有限次并、交、补、差运算下封闭。

Ω：全集
A：一个集类
A,B,Ai​：A中的集合

σ-代数、布尔代数、环

8

定义

数学

实分析/测度论

集类-σ代数

集类F⊂2Ω称为一个σ-代数（或σ-域），如果满足：
1. Ω∈F。
2. 对补封闭：若A∈F，则Ac∈F。
3. 对可数并封闭：若A1​,A2​,...∈F，则⋃n=1∞​An​∈F。

1.动机：为了处理极限和无穷过程（如分析），需要将代数对运算的封闭性加强到“可数无穷”次。
2.与代数的区别：将“有限并”升级为“可数并”。这是一个本质的加强。
3.推论：由条件2和3，利用德摩根定律可推出对可数交也封闭：⋂n​An​=(⋃n​Anc​)c∈F。
4.关系：每个σ-代数都是代数，反之不然。

Ω：全集
F：一个集类
{An​}n=1∞​：F中一列可数个集合

可测空间、Borel σ-代数、测度

9

定义

数学

实分析/测度论

可测空间

二元组(Ω,F)称为一个可测空间，其中Ω是一个集合，F是Ω上的一个σ-代数。

1.目标：为定义“哪些集合可以被测量”搭建舞台。
2.分解：
- Ω：所有可能结果的集合（样本空间）。
- F：Ω中那些“可测量”的子集所构成的集合族。F中的集合称为F-可测集。
3.意义：在定义测度之前，必须先指定一个可测空间(Ω,F)，以明确测度的定义域。

Ω：样本空间/全集
F：Ω上的一个σ-代数

测度空间、概率空间、拓扑空间

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定义

数学

实分析/测度论

集类-生成σ代数

设E⊂2Ω是任意一个集类。定义σ(E)为包含E的最小σ-代数。即：
σ(E)=⋂{F:F 是 Ω 上的 σ-代数，且 E⊂F}。

1.动机：给定一个我们关心的集类E（例如所有开区间），我们希望在一个包含E的、尽可能小的σ-代数上工作。
2.构造思路：
a) 包含E的σ-代数总是存在的（例如2Ω）。
b) 任意多个σ-代数的交集仍然是σ-代数（可以逐条验证定义）。
c) 因此，所有包含E的σ-代数的交集，本身就是一个σ-代数，并且显然是最小的那个。我们称它为由E生成的σ-代数。

Ω：全集
E：任意一个集类
F：一个σ-代数

Borel σ-代数、单调类定理

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定义

数学

实分析/测度论

集类-Borel σ代数

设(X,τ)是一个拓扑空间（例如Rn与通常拓扑）。由所有开集族τ生成的σ-代数称为X上的Borel σ-代数，记为B(X)。B(X)中的集合称为Borel集。

1.动机：在拓扑空间（如欧氏空间）上，开集是最基本的“好”集合。我们希望在一个包含所有开集的、最小的σ-代数上定义测度（如Lebesgue测度）。
2.生成元：取生成元E=τ（所有开集）。
3.元素：B(X)包含所有开集、闭集、可数个开集的交（Gδ​集）、可数个闭集的并（Fσ​集）等等。它是一个非常丰富的集类，几乎包含了分析中遇到的所有集合。

X：一个拓扑空间（如Rn)
τ：X上的拓扑（所有开集的集合）
B(X)：Borel σ-代数

拓扑、可测函数、Lebesgue测度

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定义

数学

实分析/测度论

集类-单调类

集类M⊂2Ω称为一个单调类，如果满足：
1. 对单调递增集合并封闭：若A1​⊂A2​⊂...∈M，则⋃n=1∞​An​∈M。
2. 对单调递减集合交封闭：若B1​⊃B2​⊃...∈M，则⋂n=1∞​Bn​∈M。

1.动机：单调类是σ-代数的“弱化”版本。它不要求对任意可数并/交封闭，只要求对单调序列的极限封闭。
2.与σ-代数的关系：每个σ-代数都是单调类，但反之不然。例如，实数集上所有有界区间构成的集类是单调类，但不是σ-代数（对可数并不封闭）。
3.用途：单调类定理是证明一个集类是σ-代数的重要工具。

Ω：全集
M：一个集类
{An​},{Bn​}：单调的集合序列

单调类定理、λ-系、π-系

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定理

数学

实分析/测度论

集类-单调类定理

设A是Ω上的一个代数，M是一个包含A的单调类。则σ(A)⊂M。
特别地，包含代数A的最小单调类等于σ(A)。

1.目标：提供一种证明一个集类C是σ-代数的方法。
2.策略：
a) 证明C是一个包含某个代数A的单调类。
b) 根据定理，立即有σ(A)⊂C。
c) 如果我们还能证明C⊂σ(A)，那么C=σ(A)，从而C是σ-代数。
3.价值：验证单调性（对单调序列极限封闭）通常比验证任意可数并封闭要容易。

Ω：全集
A：Ω上的一个代数
M：包含A的一个单调类
σ(A)：由A生成的σ-代数

测度的唯一性定理、函数测度的确定

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定义

数学

实分析/测度论

集类-π系与λ系

π-系P：对有限交封闭。即A,B∈P⇒A∩B∈P。
λ-系（或Dynkin系）L：
1. Ω∈L。
2. 对真差封闭：A,B∈L且 A⊂B⇒B∖A∈L。
3. 对单调递增集合并封闭。

1.动机：另一种将σ-代数分解为更简单结构的方法，常用于概率论。
2.π-系：非常简单的结构，只要求“交”运算。
3.λ-系：类似于单调类，但条件有所不同。一个σ-代数既是π-系也是λ-系。
4.关系：如果一个集类既是π-系又是λ-系，那么它是一个σ-代数。这是Dynkin π-λ定理的核心。

Ω：全集
P：一个π-系
L：一个λ-系

Dynkin π-λ定理、独立性的证明

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定理

数学

实分析/测度论

集类-Dynkin定理

若P是一个π-系，L是一个包含P的λ-系，则σ(P)⊂L。
特别地，若P是一个π-系，则包含P的最小λ-系等于σ(P)。

1.目标：与单调类定理类似，是证明集类相等的强大工具，尤其在概率论中证明独立性相关命题时非常有效。
2.使用思路：要证明σ(P)中所有集合都有某种性质（比如属于某个集类L），只需：
a) 证明P中集合有该性质（P⊂L）。
b) 证明具有该性质的集合构成一个λ-系（L是λ-系）。
c) 由定理，σ(P)⊂L，即σ(P)中所有集合都具有该性质。

P：一个π-系
L：一个λ-系
σ(P)：由P生成的σ-代数

测度的唯一性、随机变量的独立性

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定义

数学

实分析/测度论

可测空间-乘积σ代数

设(Ω1​,F1​)和(Ω2​,F2​)是可测空间。乘积空间Ω1​×Ω2​上的乘积σ-代数F1​⊗F2​定义为：
F1​⊗F2​:=σ({A1​×A2​:A1​∈F1​,A2​∈F2​})。

1.动机：在乘积空间上定义测度（如乘积测度、联合分布），需要一个自然的σ-代数。
2.生成元：取所有“可测矩形”A1​×A2​作为生成元。这是最自然的、最简单的可测集。
3.定义：乘积σ-代数就是由这些可测矩形生成的σ-代数。注意，它通常不等于F1​和F2​的笛卡尔积的幂集，甚至不等于{E1​×E2​:E1​∈F1​,E2​∈F2​}（后者只是一个半环，不是σ-代数）。

(Ωi​,Fi​)：可测空间，i=1,2
×：笛卡尔积
σ(⋅)：生成σ-代数运算

乘积测度、Fubini定理、截面定理

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定义

数学

实分析/测度论

函数-可测函数

设(Ω,F)和(Ω‘,F’)是两个可测空间。一个函数f:Ω→Ω′称为(F,F’)-可测的（或简称为可测函数），如果对任意的B∈F’，其原像f−1(B)都属于F，即：
f−1(B):={ω∈Ω:f(ω)∈B}∈F,∀B∈F’。

1.目标：定义可测空间之间的、能与可测结构兼容的映射。
2.核心思想：可测性是通过原像保持可测集来定义的。这与拓扑中连续函数的定义（原像保持开集）完全类似。
3.解释：可测函数f的作用是，当我们用F’中的“尺子”（可测集）在值域中测量时，它在定义域中对应的“刻度”（原像）也必须是F中的“尺子”。这保证了定义域上的测度可以通过f“拉回”到值域上。

(Ω,F)：定义域可测空间
(Ω′,F′)：值域可测空间
f:Ω→Ω′：一个映射
f−1(B)：集合B在f下的原像

连续函数、Borel可测函数、随机变量

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定义

数学

实分析/测度论

函数-Borel可测函数

当值域可测空间是(R,B(R))时，函数f:Ω→R称为F-可测的（或Borel可测的），如果：
f−1(B)∈F,∀B∈B(R)。

1.动机：这是测度论和概率论中最常见的可测函数类型，因为值域是实数。
2.简化判定：由于B(R)由所有开区间生成，可以证明，f是Borel可测的当且仅当对任意实数a，有{f<a}:={ω:f(ω)<a}∈F。
3.推广：类似可定义取值于Rn或扩展实数R=[−∞,+∞]的可测函数。

(Ω,F)：定义域可测空间
B(R)：实数集上的Borel σ-代数
f:Ω→R：实值函数

可测函数的运算、简单函数、积分

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定义

数学

实分析/测度论

测度-外测度

集合函数μ∗:2Ω→[0,+∞]称为外测度，如果满足：
1. μ∗(∅)=0。
2. 单调性：A⊂B⇒μ∗(A)≤μ∗(B)。
3. 次可数可加性：对任意集合序列{An​}n=1∞​，有
μ∗(⋃n=1∞​An​)≤∑n=1∞​μ∗(An​)。

1.目标：定义一个在所有子集上都有定义、具有“长度/面积/体积”某些基本性质的集合函数。
2.问题：外测度通常不满足可数可加性（这是测度的核心），只满足较弱的次可数可加性。
3.构造：外测度相对容易构造（例如Lebesgue外测度，用可数开覆盖的下确界定义）。
4.策略：Carathéodory方法指出，可以对外测度μ∗定义一类“可测集”Mμ∗​，使得μ∗限制在Mμ∗​上是一个真正的测度。

Ω：全集
μ∗：外测度，定义域为幂集2Ω
A,B,An​：Ω的任意子集

Lebesgue外测度、Carathéodory条件、测度扩张

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定义

数学

实分析/测度论

测度-可测集(Caratheodory)

设μ∗是Ω上的外测度。集合A⊂Ω称为μ∗-可测的，如果它满足Carathéodory条件：
μ∗(E)=μ∗(E∩A)+μ∗(E∩Ac),∀E⊂Ω。

1.动机：从外测度中“筛选”出那些行为良好的集合，使它们构成一个σ-代数，并且μ∗在其上是可数可加的。
2.条件解释：条件要求集合A能以“可加”的方式分割任意测试集E的外测度。这保证了A和Ac对于外测度μ∗来说是“边界清晰”的。
3.几何理解（在Rn上）：想象A是一个形状不规则的集合。如果A是“可测的”，那么用A的边界去切割任何一个集合E，E被分成的两部分的“长度”（外测度）之和等于原来E的“长度”。

μ∗：一个外测度
A：待检验的集合
E：任意测试集
Ac：A的补集

测度、Lebesgue可测集、正则性

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定理

数学

实分析/测度论

测度-Caratheodory定理

设μ∗是Ω上的外测度。记所有μ∗-可测集组成的集类为Mμ∗​，则：
1. Mμ∗​是一个σ-代数。
2. μ∗在Mμ∗​上的限制（记为μ）是一个完备的测度。
即(Ω,Mμ∗​,μ)是一个完备的测度空间。

1.目标：提供从外测度构造测度空间的通用方法。
2.证明思路：
a) 验证Mμ∗​包含空集、对补集封闭。
b) 验证Mμ∗​对有限并不封闭，进而利用Carathéodory条件证明对可数并不封闭（这是最核心、最技术性的部分）。
c) 由于μ∗是外测度，在Mμ∗​上自动满足可数可加性（由可测集定义和次可加性可推出）。
d) 完备性：若μ∗(N)=0，则对任意E，μ∗(E)≤μ∗(E∩N)+μ∗(E∩Nc)≤0+μ∗(E)，由夹逼知N满足Carathéodory条件，且其任意子集也满足，故测度是完备的。

μ∗：外测度
Mμ∗​：所有μ∗-可测集的集合
$\mu := \mu^*

{\mathcal{M}{\mu^}}：\mu^$在可测集上的限制

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定义

数学

实分析/测度论

测度-测度

设(Ω,F)是可测空间。函数μ:F→[0,+∞]称为一个测度，如果满足：
1. μ(∅)=0。
2. 可数可加性：对F中任意互不相交的集合序列{An​}n=1∞​，有
μ(⋃n=1∞​An​)=∑n=1∞​μ(An​)。

1.目标：正式定义“体积”或“大小”的数学概念。
2.定义域：测度μ只定义在σ-代数F上，而不是所有子集上。
3.可数可加性：这是测度最核心的性质。它意味着测度是“连续的”：如果我们将一个集合分割成可数无穷个互不相交的小块，那么整体的“大小”等于所有小块“大小”之和。
4.值域：允许取+∞，以处理无界区域（如整个实数轴）的“长度”。

(Ω,F)：可测空间
μ：测度
{An​}n=1∞​：F中一列两两不交的集合

概率测度、计数测度、Lebesgue测度

23

定义

数学

实分析/测度论

测度空间

三元组(Ω,F,μ)称为一个测度空间，其中(Ω,F)是可测空间，μ是F上的测度。

1.构成：这是测度论研究的基本对象。
2.完备性：如果对任意N∈F，若μ(N)=0，则N的任意子集也属于F（从而测度为0），则称该测度空间是完备的。
3.例子：
- (R,B(R),m)，其中m是Lebesgue测度，不完备。
- (R,L,m)，其中L是Lebesgue可测集，完备。这是由Carathéodory定理保证的。

(Ω,F)：可测空间
μ：F上的测度

可测空间、概率空间、积分

24

定义

数学

实分析/测度论

测度-有限/σ有限

设(Ω,F,μ)是测度空间。
有限测度：若μ(Ω)<∞。
概率测度：若μ(Ω)=1。
σ有限测度：若存在一列集合{En​}⊂F，使得Ω=⋃n​En​，且对每个n，μ(En​)<∞。

1.动机：对测度的大小进行分类，许多定理（如Fubini定理）需要σ有限性条件。
2.有限测度：整个空间的测度有限。概率测度是一种特殊的有限测度。
3.σ有限测度：整个空间可以被可数个有限测度的集合覆盖。这是一个非常重要的、适中的条件。
- 例子：R上的Lebesgue测度是σ有限的但不是有限的（取En​=(−n,n)）。
- 例子：计数测度在可数集上是σ有限的，在不可数集上不是σ有限的。

(Ω,F,μ)：测度空间
{En​}：一列可测集

积分、乘积测度、Radon-Nikodym定理

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性质

数学

实分析/测度论

测度的性质-单调性

若A,B∈F，且A⊂B，则μ(A)≤μ(B)。

1.推导：由可数可加性可得。因为B=A∪(B∖A)，且A与B∖A不交。
2.表达式：μ(B)=μ(A)+μ(B∖A)≥μ(A)，因为μ(B∖A)≥0。
3.推论：测度是非负的，且若μ(A)=∞，则包含A的任何可测集测度也为∞。

(Ω,F,μ)：测度空间
A,B：可测集，且A⊂B

可数可加性、测度的减法（有限时）

26

性质

数学

实分析/测度论

测度的性质-可减性

若A,B∈F，A⊂B，且μ(A)<∞，则μ(B∖A)=μ(B)−μ(A)。

1.条件：μ(A)<∞是必要的，否则会出现∞−∞未定义的情况。
2.推导：由B=A∪(B∖A)和可数可加性，有μ(B)=μ(A)+μ(B∖A)。
3.移项：因为μ(A)是有限数，可以安全地移到等式另一边，得到μ(B∖A)=μ(B)−μ(A)。

(Ω,F,μ)：测度空间
A,B：可测集，A⊂B，且μ(A)<∞

测度的单调性、可数可加性

27

定理

数学

实分析/测度论

测度的性质-连续性

设(Ω,F,μ)是测度空间。
1.下连续性：若{An​}递增（An​↑A），则μ(An​)↑μ(A)。
2.上连续性：若{An​}递减（An​↓A），且μ(A1​)<∞，则μ(An​)↓μ(A)。

1.目标：描述测度对单调集合序列极限的操作。
2.证明（下连续）：
- 令B1​=A1​， Bn​=An​∖An−1​for n≥2。则{Bn​}互不相交，且A=⋃n​An​=⋃n​Bn​。
- 由可数可加性：μ(A)=∑k=1∞​μ(Bk​)=limn→∞​∑k=1n​μ(Bk​)=limn→∞​μ(⋃k=1n​Bk​)=limn→∞​μ(An​)。
3.证明（上连续）：
- 令Cn​=A1​∖An​，则{Cn​}递增，且⋃n​Cn​=A1​∖A。
- 由下连续性：μ(Cn​)↑μ(A1​∖A)。
- 由可减性（注意μ(A1​)<∞）：μ(A1​)−μ(An​)↑μ(A1​)−μ(A)。
- 整理得：μ(An​)↓μ(A)。
4.条件：上连续性需要μ(A1​)<∞（或至少某个AN​测度有限）来使用可减性。

(Ω,F,μ)：测度空间
{An​}n=1∞​⊂F：单调递增/递减的集合序列
A：集合序列的极限

单调集合序列的极限、可数可加性

28

定理

数学

实分析/测度论

测度的性质-可数次可加性

对F中任意集合序列{An​}n=1∞​（不一定不交），有：
μ(⋃n=1∞​An​)≤∑n=1∞​μ(An​)。

1.推导：通过构造一个不相交的序列{Bn​}，其中B1​=A1​， Bn​=An​∖(⋃k=1n−1​Ak​)。则⋃n​Bn​=⋃n​An​，且Bn​⊂An​。
2.步骤：
μ(⋃n​An​)=μ(⋃n​Bn​)=∑n​μ(Bn​)（可数可加性）
≤∑n​μ(An​)（单调性，因为Bn​⊂An​）。
3.注意：这是测度的性质，而不是定义的一部分（外测度的次可加性是定义）。

(Ω,F,μ)：测度空间
{An​}n=1∞​⊂F：任意一列可测集

可数可加性、测度的单调性、Boole不等式

29

定义

数学

实分析/测度论

测度-完备性

测度空间(Ω,F,μ)称为完备的，如果：
∀N∈F with μ(N)=0,∀S⊂N, we have S∈F（从而μ(S)=0）。

1.目标：定义“零测集的任意子集仍可测（且测度为零）”的性质。
2.动机：在分析中，我们常常希望忽略零测集。如果零测集的子集不可测，会带来许多麻烦。
3.构造完备化：任何测度空间都可以被完备化。令N={S⊂Ω:∃N∈F with μ(N)=0 and S⊂N}。定义扩充的σ-代数F={E∪Z:E∈F,Z∈N}，并在其上定义μ​(E∪Z)=μ(E)，则(Ω,F,μ​)是原空间的完备化。

(Ω,F,μ)：测度空间
N：一个零测集
S：N的任意子集

零测集、几乎处处、Carathéodory定理

30

例子

数学

实分析/测度论

测度-计数测度

设(Ω,F)为可测空间，其中F=2Ω（离散σ-代数）。定义计数测度#为：
$#(A) = \begin{cases}

A

, & \text{若 } A \text{ 是有限集} \+\infty, & \text{若 } A \text{ 是无限集} \end{cases}<br>其中

A