算法的时间复杂度和空间复杂度

目录

算法的效率

算法的复杂度

时间复杂度

概念

大O的渐进表示法

常见时间复杂度计算举例

实例1

实例2

实例3

实例4.计算strchr的时间复杂度

实例5.BubbleSort的时间复杂度

实例6.BinarySearch的时间复杂度

实例7.阶乘递归Fac的时间复杂度

实例8.斐波那契递归Fib的时间复杂度

空间复杂度

实例1：计算BubbleSort的空间复杂度

实例2：计算Fibonacci的空间复杂度

实例3：计算阶乘递归Fac的空间复杂度

常见复杂度对比

算法的效率

如何衡量一个算法的好坏？看看下面的这个斐波那契数列

long long Fib(int N) { if (N < 3) return 1; return Fib(N - 1) + Fib(N - 2); }

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

该递归代码效率极低。因为它会重复计算大量子问题。例如计算Fib(5)时：

• Fib(4)和Fib(3)都要各自再递归展开，其中Fib(4)又会调用Fib(3)和Fib(2)……

• 导致同一个数值（如Fib(3)）被多次重复计算。

这种算法的时间复杂度是O(2^N)（指数级），N=50 时已经慢到无法接受。空间复杂度是O(N)（递归调用栈深度）。

相比之下，用循环或动态规划实现斐波那契，时间复杂度仅为O(N)，效率高得多。

简洁的不一定高效。衡量算法好坏，要分析其时间复杂度和空间复杂度，避免指数级爆炸的递归写法。

1. 时间复杂度：运行时间随输入规模（N）的增长速度。比如递归斐波那契是 O(2^N)，太慢。

2. 空间复杂度：占用的额外内存随 N 的增长速度。递归版本因调用栈深度为 O(N)，也较差。

算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算 机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度

时间复杂度

概念

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道

但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？ void Func1(int N) { int count = 0; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { ++count; } } for (int k = 0; k < 2 * N; ++k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }

Func1 执行的基本操作次数 ：

F(N)=N^2+2*N+10

N = 10 F(N) = 130

N = 100 F(N) = 10210

N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这 里我们使用大O的渐进表示法。

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)

N = 10 F(N) = 100

N = 100 F(N) = 10000

N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

常见时间复杂度计算举例

实例1

基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

// 计算Func2的时间复杂度？ void Func2(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N; ++k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }

实例2

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

// 计算Func3的时间复杂度？ void Func3(int N, int M) { int count = 0; for (int k = 0; k < M; ++k) { ++count; } for (int k = 0; k < N; ++k) { ++count; } printf("%d\n", count); }

实例3

基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

// 计算Func4的时间复杂度？ void Func4(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; ++k) { ++count; } printf("%d\n", count); }

实例4.计算strchr的时间复杂度

strchr的标准实现逻辑——即在一个字符串中顺序查找某个字符，最好情况是第一个字符就匹配（1次操作），最坏情况是遍历到末尾或找不到（N 次操作，N 为字符串长度）。时间复杂度一般看最坏。因此时间复杂度为O(N)。

// 计算strchr的时间复杂度？ const char * strchr ( const char * str, int character );

实例5.BubbleSort的时间复杂度

基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最 坏，时间复杂度为 O(N^2)：

最好情况（数组已经有序）：第一趟比较N-1次，发现没有交换，exchange保持为 0，直接break退出循环。执行次数 =N-1，即O(N)。

最坏情况（数组完全逆序）：每一趟都要比较和交换。比较次数：(N-1) + (N-2) + ... + 1 = N(N-1)/2，即N(N-1)/2，忽略常数和低阶项后为O(N²)。

时间复杂度一般看最坏，所以冒泡排序的时间复杂度为O(N²)。

// 计算BubbleSort的时间复杂度？ void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i - 1] > a[i]) { Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }

实例6.BinarySearch的时间复杂度

基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底 数为2，对数为N。有些地方会写成lgN：

二分查找是在一个有序数组里找一个数x。过程：

先看数组最中间的数a[mid]

如果它等于x，就找到了

如果x比它小，就只去左边一半继续找

如果x比它大，就只去右边一半继续找

重复以上步骤，直到找到或者区间缩小到没有数字为止

最好情况：
如果你运气爆棚，第一次就猜中了中间那个数。那只需要1 次比较就结束了。所以最好时间复杂度是O(1)。

最坏情况：
要找的数在数组最边上，或者根本不在数组里。这时候你会一直缩小查找范围，直到范围变成空。

每次查找后，剩下的数字个数大约是原来的一半：

刚开始有n个数字

第一次比较后，剩n/2个

第二次比较后，剩n/4个

第三次比较后，剩n/8个

…

直到最后剩下1个数字，再查一次就确定有没有。

问题来了：从 n 变成 1，你需要除以多少次 2？
这就是数学上的对数。

假设 n = 16
16 → 8 → 4 → 2 → 1
除了 4 次 2，就到 1 了。
这 4 就是 log₂(16) = 4。

更一般地，需要比较的次数 ≈log₂(n)。

所以最坏时间复杂度是O(log N)（这里 log N 默认以 2 为底，但底数不重要，因为常数可以忽略）。

// 计算BinarySearch的时间复杂度？ int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n - 1; // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号 while (begin <= end) { //防止 (begin+end)/2 直接加可能会溢出（当 begin 和 end 都很大时）。 //>> 1 就是除以 2，位运算更快。不影响时间复杂度理解。 int mid = begin + ((end - begin) >> 1); if (a[mid] < x) begin = mid + 1; else if (a[mid] > x) end = mid - 1; else return mid; } return -1; }

实例7.阶乘递归Fac的时间复杂度

基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？ long long Fac(size_t N) { if (0 == N) return 1; return Fac(N - 1) * N; }

实例8.斐波那契递归Fib的时间复杂度

基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)：

递归函数：

如果N < 3（也就是 N = 1 或 2），直接返回 1。

否则，它会调用自己两次：Fib(N-1)和Fib(N-2)，然后把两个结果相加。例如：Fib(5)会去问Fib(4)和Fib(3)，而每个又会继续往下拆，直到Fib(1)或Fib(2)为止。

为什么会很慢？因为同一个中间结果会被重复计算无数次。我们拿Fib(5)举例：

Fib(3)被计算了两次。Fib(2)被计算了三次。Fib(1)被计算了两次。随着 N 增大，重复计算量爆炸式增长。

每次函数调用，只要不是N<3的终止情况，它都会做一次加法（Fib(N-1) + Fib(N-2)）。
我们近似数一数函数调用的总次数。

第一层：调用 1 次（Fib(N)）

第二层：调用 2 次（Fib(N-1)、Fib(N-2)）

第三层：调用 4 次（Fib(N-2) 的两个子调用等）

第四层：调用 8 次

…
直到叶子节点（N=1 或 2）为止。

这像一个满二叉树，大约有2^N量级的节点（严格来说，斐波那契递归树是接近 2^N，但不是精确满的，但大 O 只看数量级）

所以：基本操作（加法 + 递归调用）的次数 ≈ 2^N 级别。

最好情况：N 很小（比如 1 或 2），直接返回，O(1)。

最坏情况（也是我们要看的一般情况）：N 较大时，递归调用次数 ≈ 2^N，所以时间复杂度 = O(2^N)。

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？ long long Fib(size_t N) { if (N < 3) return 1; return Fib(N - 1) + Fib(N - 2); }

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1：计算BubbleSort的空间复杂度

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)：

额外开辟的变量只有：

end（循环控制）

exchange（标记是否发生交换）

i（内层循环控制）

这些变量数量固定，不会随着输入规模n变大而增多。无论n是 10 还是 10 万，额外内存始终是几个字节。因此：使用了常数个额外空间 → 空间复杂度 O(1)。

// 计算BubbleSort的时间复杂度？ void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i - 1] > a[i]) { Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }

实例2：计算Fibonacci的空间复杂度

动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N):

空间复杂度分析：
动态开辟了一个长度为 n+1 的 long long 数组
数组占用的空间大小随输入 n 线性增长
除此之外，只用了常数个额外变量（i 等）
因此空间复杂度为 O(N)

// 计算Fibonacci的空间复杂度？ // 返回斐波那契数列的前n项 long long* Fibonacci(size_t n) { if (n == 0) return NULL; long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long)); fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2]; } return fibArray; }

实例3：计算阶乘递归Fac的空间复杂度

long long Fac(size_t N) { if (N == 0) return 1; return Fac(N - 1) * N; }

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

这里顺便理一下什么是栈帧：

每个函数被调用时，计算机需要在内存中（栈区）记录一些信息：

函数的参数（比如 N 的值）

函数返回后要去哪里继续执行（返回地址）

函数的局部变量（这里没有）

这块记录信息的内存区域，就叫做“栈帧”。

可以把栈帧想象成一张“任务纸条”：

调用函数时，写一张纸条压在一摞纸条的最上面。

函数返回时，把最上面的纸条扔掉，回到上一张纸条记录的位置。

当你调用Fac(3)时，它会这样执行：

1. Fac(3)调用Fac(2)，等待Fac(2)的结果

2. Fac(2)调用Fac(1)，等待Fac(1)的结果

3. Fac(1)调用Fac(0)，等待Fac(0)的结果

4. Fac(0)返回 1

5. 然后Fac(1)用 1 * 1 = 1 返回

6. Fac(2)用 1 * 2 = 2 返回

7. Fac(3)用 2 * 3 = 6 返回

调用Fac(3)时，栈帧的变化如下：

关键点：在最深的时刻（Fac(0)刚被调用但还没返回），栈里有4 个栈帧（N=3 时深度为 4）。

• 当参数为 N 时，递归会一直调用到 N=0

• 所以最多同时存在的栈帧个数 =N + 1（从 N 到 0 一共 N+1 层）

每一层栈帧占用的空间是常数（因为只存参数 N 和返回地址等固定大小的信息）。
那么总占用的额外空间 = (N+1) × 常数 ≈N × 常数。在算法分析中，常数忽略，只关心规模 N，所以空间复杂度为O(N)。

常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下：