编码理论中的 Gilbert–Varshamov 界与卷积码
1. Gilbert–Varshamov 界的再探讨
在编码理论里，Gilbert–Varshamov 界是一个关键概念。当$\delta = d/n$时，通过对相关式子取以$q$为底的对数并除以$n$，我们能得到：
$n^{-1}[\log_q(\delta n) + \log_q V_q(n, \delta n)] < t_e/n + n^{-1}$，$\log_q[1 - q^{-t_e/2 + 1}]$
当$n$趋向于无穷大时，依据引理 2.10.3 可得$H_q(\delta) \leq \lim_{n \to \infty}t_e/n$或者$1 - H_q(\delta) \geq 1 - \lim_{n \to \infty}t_e/n$。由于$t = \log_q n$，我们能够挑选一个增长速度足够快的递增序列$e$，从而保证不等式（13.13）成立，这确保了存在一系列长度为$n = q^t$且相对最小距离至少为$\delta n$的 Goppa 码，同时满足$1 - H_q(\delta) = 1 - \lim_{n \to \infty}t_e/n$。定理 13.2.1 表明，这一系列码的速率至少为$1 - t_e/n$，所以该序列满足渐近 Gilbert–Varshamov 界。
2. 代数几何码超越 Gilbert–Varshamov 界
1982 年，Tsfasman、Vlădut 和 Zink 得出的结果首次表明，存在一系列码，当它们的长度趋于无穷大时，其相对距离趋近于$\delta$，且速率超过$1 - H_q(\delta)$。由于涉及的数学知识超
