位同步--FPGA实现Gardner算法(1)-洪萨配资

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无需载波同步的位同步技术- Gardner算法

总概括：

就是通过观察“前后两个符号的中间那个点有没有归零”，来告诉 NCO “走快点”还是“走慢点”，从而让内插器始终抓在信号张开得最大的那个最佳时刻。

1.介绍Gardner算法

是一种定时误差算法，他通过观察，当前与上一次的采样点，来告诉我们采太快了，还是太慢了，同时告诉NCO这个误差，使得采样时刻改变，追求最佳采样点。
一般公式（数学版）如下：
e(k)=[y(k)−y(k−1)]×y(k−1/2)e(k) = [y(k) - y(k-1)] \times y(k-1/2)e(k)=[y(k)−y(k−1)]×y(k−1/2)
逻辑：用前后两点的差（斜率）乘以中间点的值。
如图：

情况1：无误差，最佳采样时刻：y(k - 1/2)为0，e(k)为0。
情况2：采集太快了，y(k - 1/2)在最佳采样点左边，为正数。e(k)为负数，代表你（NCO）需要慢一点了。
情况3：采集太慢了，y(k - 1/2)在最佳采样点右边，为负数，e(k)为正数，代表你（NCO）需要快一点了。

**他的误差是怎么计算的？利用码元跳变（过零点）来检测误差
理想情况：如果一个符号是波峰，下一个是波谷，那么它们正中间的采样点（中间点）应该刚好是 0。
非理想情况：如果中间点不为 0，说明采样时刻偏了。
中间点偏正或偏负，结合前后符号的极性，就能算出偏移方向。

2.数据计算

核心矛盾：时钟不同步

在实际通信中，接收端的采样时钟（周期为TsT_sTs）通常是固定频率的本地晶振，它和发送端的符号时钟（周期为TiT_iTi）往往是不匹配、不同步的。

目的：重新采样(KiK_iKi周期下的)

公式 (8-19) ：

y(kTi)=∑mx(mTs)hI(kTi−mTs)y(kT_i) = \sum_{m} x(mT_s)h_I(kT_i - mT_s)y(kTi)=m∑x(mTs)hI(kTi−mTs)
(k为整数，TiT_iTi为内插周期，k = T /TiT_iTi)
既然有了虚拟的连续曲线y(t)y(t)y(t)，我们就在我们想要的时刻t=kTit = kT_it=kTi（内插时刻）去“摘取”信号值。
公式 (8-20) 是真正的数字实现：

y(t)=∑mx(mTs)hI(t−mTs)y(t) = \sum_{m} x(mT_s)h_I(t - mT_s)y(t)=m∑x(mTs)hI(t−mTs)

物理意义：想象我们把手中的数字点x(mTs)x(mT_s)x(mTs)通过一个理想的“低通滤波器”hI(t)h_I(t)hI(t)（即内插滤波器）。
这就像是在坐标轴上根据现有的点，画出一条平滑的连续曲线y(t)y(t)y(t)。一旦有了这条曲线，理论上你可以在任何时间点ttt取值。
关键点：在全数字接收机里，我们并不真的去还原连续信号。我们直接利用现有的x(mTs)x(mT_s)x(mTs)和滤波器系数hIh_IhI进行卷积运算，直接计算出y(kTi)y(kT_i)y(kTi)。