在该研究的低雷诺数多孔介质流动场景中，布林克曼方程（Brinkman equation）是达西方程（Darcy equation）的扩展与修正形式——两者均描述多孔介质内的流动，核心关联是“达西方程忽略粘性扩散效应，布林克曼方程补充该效应以适配边界匹配需求”，具体联系与差异可从以下维度详细解析：
一、核心方程形式与物理本质的关联
1. 方程表达式（无量纲形式，与研究一致）
| 方程类型 | 核心表达式 | 关键项含义 |
|---|---|---|
| 达西方程（Darcy） | ∇pi=−S2ui\nabla p^i = -S^2 u^i∇pi=−S2ui（式20） | −S2ui-S^2 u^i−S2ui：仅考虑多孔介质的渗透阻力（S=h/κS=h/\sqrt{\kappa}S=h/κ，κ\kappaκ为渗透率，阻力与流速成正比）；无粘性扩散项。 |
| 布林克曼方程（Brinkman） | ∇pi=Δui−S2ui\nabla p^i = \Delta u^i - S^2 u^i∇pi=Δui−S2ui（式2），且满足∇ui=0\nabla u^i = 0∇ui=0（不可压缩条件） | Δui\Delta u^iΔui：补充粘性扩散效应（与外部斯托克斯方程的粘性项形式一致）；−S2ui-S^2 u^i−S2ui：保留达西方程的渗透阻力项。 |
2. 物理本质的传承与扩展
- 共同核心：两者均以“压力梯度驱动流动，流动受多孔介质阻力抑制”为核心物理逻辑，渗透阻力项−S2ui-S^2 u^i−S2ui的形式完全一致，本质是对多孔介质“孔隙阻挡导致流动衰减”的宏观描述。
- 布林克曼的扩展：达西方程仅适用于“远离边界的多孔介质内部”（假设流速均匀，忽略粘性引起的流速梯度扩散）；而布林克曼方程通过增加Δui\Delta u^iΔui（拉普拉斯算子，对应粘性扩散），既保留了达西方程的核心阻力机制，又能描述“边界附近的流速梯度变化”，实现与外部流场（斯托克斯方程）的平滑衔接。
二、适用场景的衔接：从内部到边界
1. 达西方程的局限性
达西方程假设多孔介质内流速uiu^iui为常数（无梯度），仅能描述“远离多孔边界、流动充分发展”的区域。但在该研究中，多孔圆柱体的边界需与外部流场满足“速度、应力连续”（式3），达西方程因无粘性扩散项，无法产生流速梯度，导致边界处流速突变，违背物理连续性（如图7中曲线2，达西方程的速度剖面在边界处不连续）。
2. 布林克曼方程的适配性
布林克曼方程的Δui\Delta u^iΔui项（粘性扩散）允许多孔介质内存在流速梯度，恰好弥补达西方程的缺陷：
- 当流动远离边界（内部区域）：流速梯度极小，Δui≈0\Delta u^i \approx 0Δui≈0，此时布林克曼方程退化为∇pi≈−S2ui\nabla p^i \approx -S^2 u^i∇pi≈−S2ui，与达西方程结果一致；
- 当流动靠近边界（如多孔圆柱体表面r=ar=ar=a）：流速梯度显著，Δui\Delta u^iΔui不可忽略，方程可描述流速从“边界连续值”向“内部均匀值”的平滑过渡，满足与外部斯托克斯流场的匹配条件（速度、应力连续）。
三、边界匹配能力的关联：从冲突到兼容
该研究的核心目标之一是实现“内部流场（多孔介质）-外部流场（自由流体）”的边界连续，两者在这一关键需求上形成互补：
1. 达西方程与外部流场的冲突
达西方程的解为“流速uiu^iui恒定”（由式20推导，压力满足拉普拉斯方程Δp=0\Delta p=0Δp=0，解为p=G2rcosθp=G_2 r\cos\thetap=G2rcosθ，对应流速无梯度），与外部斯托克斯流场的“流速梯度分布”在边界处无法匹配：
- 速度连续冲突：外部流场在边界r=ar=ar=a处有流速梯度（如切向流速uθeu_\theta^euθe随半径变化），而达西方程的uθiu_\theta^iuθi为常数，导致边界处流速导数不连续；
- 应力连续冲突：切向应力τ\tauτ与流速梯度相关（式τ=1r∂ur∂θ+∂uθ∂r−uθr\tau=\frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \theta}+\frac{\partial u_\theta}{\partial r}-\frac{u_\theta}{r}τ=r1∂θ∂ur+∂r∂uθ−ruθ），达西方程无流速梯度，无法满足τi=τe\tau^i=\tau^eτi=τe的边界条件。
2. 布林克曼方程的兼容解决方案
布林克曼方程因包含Δui\Delta u^iΔui项，其解（如流函数Ψi\Psi^iΨi的级数形式，式10）天然包含流速梯度，可通过边界条件（式3）与外部流场的斯托克斯方程解（Ψe\Psi^eΨe，式9）严格匹配：
- 速度连续：uri=ureu_r^i=u_r^euri=ure、uθi=uθeu_\theta^i=u_\theta^euθi=uθe（边界处流速无突变）；
- 应力连续：τi=τe\tau^i=\tau^eτi=τe（边界处粘性应力传递无中断）；
- 压力连续：pi=pep^i=p^epi=pe（与达西方程一致，压力无突变）。
四、数值结果的量化关联：低渗透率下的一致性
研究通过对比两种方程的计算结果（图6、图7），验证了两者的量化关联：
1. 低渗透率区域（aS≫1aS \gg 1aS≫1，SSS大→κ\kappaκ小）
- 多孔介质内渗透阻力极强，流速uiu^iui极小且梯度平缓，Δui≈0\Delta u^i \approx 0Δui≈0，布林克曼方程退化为达西方程；
- 数值结果显示：此时两种方程计算的拖拽力（图6中aS>10aS>10aS>10区域）和流速分布（图7中边界附近）差异极小，与不透水边界的滑移模型（Beavers-Joseph条件）结果也高度一致。
2. 中高渗透率区域（aS≪1aS \ll 1aS≪1，SSS小→κ\kappaκ大）
- 渗透阻力减弱，流速梯度显著，Δui\Delta u^iΔui项不可忽略，布林克曼方程与达西方程的差异凸显：
- 拖拽力：达西方程计算值与布林克曼方程偏差明显（图6中aS<10aS<10aS<10区域，曲线1与曲线2分离）；
- 速度剖面：达西方程在边界处呈现“台阶式突变”，而布林克曼方程呈现“平滑过渡”（图7中曲线1与曲线2的差异）。
五、总结：两者的核心关联逻辑
- 传承关系：布林克曼方程以达西方程为基础，保留其“渗透阻力与流速成正比”的核心机制，是对达西方程的精细化修正；
- 适用范围衔接：达西方程适用于多孔介质内部（远离边界、流速均匀），布林克曼方程适用于“内部+边界区域”，实现从多孔介质内部到外部自由流场的全区域覆盖；
- 边界匹配的关键作用：达西方程无法满足与外部斯托克斯流场的边界连续条件，而布林克曼方程通过补充粘性扩散项，成为连接“外部斯托克斯流”与“内部达西流”的桥梁，这也是该研究选择布林克曼方程的核心原因。
简言之，达西方程是多孔介质流动的“简化模型”，布林克曼方程是“兼顾简化与边界兼容性的扩展模型”，两者在物理本质上一脉相承，仅在粘性效应的考虑上存在差异，适配不同的流动场景需求。
