一、圆形等边三角形网格划分
核心思路：通过调整初始节点分布与Delaunay三角剖分，生成近似等边三角形的圆形网格。关键步骤包括非均匀初始节点生成、边界约束和迭代优化。
1. 实现代码
%% 参数设置h0=0.1;% 初始网格间距iteration_max=200;% 最大迭代次数geps=0.001*h0;% 边界容差%% 定义圆形区域fd=@(p)sqrt(p(:,1).^2+p(:,2).^2)-1;% 圆心(0,0)半径1fh=@(p)0.1;% 均匀网格尺寸函数%% 生成初始节点（等边三角形布局）[x,y]=meshgrid(linspace(-1,1,20),linspace(-1,1,20));x(2:2:end,:)=x(2:2:end,:)+h0/2;% 偶数行右移半格p=[x(:),y(:)];%% 过滤边界外节点p=p(feval(fd,p)<=geps,:);%% 添加固定边界点（可选）pfix=[0,1;1,0;0,-1;-1,0];% 四个方向的控制点p=[p;pfix];%% Delaunay三角剖分t=delaunayn(p);%% 迭代优化节点位置foriter=1:iteration_max% 计算三角形重心pmid=(p(t(:,1),:)+p(t(:,2),:)+p(t(:,3),:))/3;% 移除边界外的三角形t=t(feval(fd,pmid)<=-geps,:);% 生成边集合bars=unique(sort([t(:,[1,2]);t(:,[1,3]);t(:,[2,3])],2),'rows');% 计算节点受力并更新位置barvec=p(bars(:,1),:)-p(bars(:,2),:);L=sqrt(sum(barvec.^2,2));F=max(0.1*L-L,0);% 弹性力模型Ftot=sparse(bars(:,[1,2]),bars(:,[2,1]),F,size(p,1),2);p=p+0.2*full(Ftot);% 更新节点位置% 将固定点拉回边界p(pfix(:,1),:)=pfix(:,2);end%% 可视化figure;trisurf(t,p(:,1),p(:,2),zeros(size(t,1),1));axis equal;title('圆形等边三角形网格');2. 关键参数说明
h0：初始网格间距，控制整体密度。fh：尺寸函数，fh=常数表示均匀网格，fh=距离函数可实现非均匀加密。pfix：固定点坐标，用于约束边界节点位置。
二、正方形均等划分网格
核心思路：通过规则网格划分生成正方形网格，结合Delaunay三角剖分形成四边形或三角形网格。
1. 实现代码
%% 参数设置h0=0.1;% 初始网格间距iteration_max=50;% 最大迭代次数%% 定义正方形区域fd=@(p)drectangle(p,-1,1,-1,1);% 正方形边界fh=@(p)0.1;% 均匀网格尺寸函数%% 生成初始节点[x,y]=meshgrid(linspace(-1,1,20),linspace(-1,1,20));p=[x(:),y(:)];%% Delaunay三角剖分t=delaunayn(p);%% 迭代优化（可选）foriter=1:iteration_max pmid=(p(t(:,1),:)+p(t(:,2),:)+p(t(:,3),:))/3;t=t(feval(fd,pmid)<=-geps,:);bars=unique(sort([t(:,[1,2]);t(:,[1,3]);t(:,[2,3])],2),'rows');barvec=p(bars(:,1),:)-p(bars(:,2),:);L=sqrt(sum(barvec.^2,2));F=max(0.1*L-L,0);Ftot=sparse(bars(:,[1,2]),bars(:,[2,1]),F,size(p,1),2);p=p+0.1*full(Ftot);end%% 可视化（四边形网格）figure;quads=[t(:,[1,2,3,4])];% 提取四边形单元（需补充第四点）quads(:,4)=t(:,1);% 闭合四边形patch('Faces',quads,'Vertices',p,'FaceColor','cyan','EdgeColor','k');axis equal;title('正方形均等四边形网格');2. 网格类型选择
- 三角形网格：直接使用Delaunay剖分结果。
- 四边形网格：需补充第四点形成闭合单元（如
quads(:,4) = t(:,1)）。
三、网格质量优化技巧
尺寸函数控制
通过
fh函数实现非均匀加密，例如在圆形边界附近加密：fh=@(p)0.05+0.3*sqrt(p(:,1).^2+p(:,2).^2);% 边界处网格更密节点投影修正
迭代中将边界外节点拉回几何边界：
d=feval(fd,p);p(d>0,:)=p(d>0,:)-d(d>0,:).*[1,1]*0.1;% 梯度投影固定点约束
在关键位置（如孔洞中心）添加固定点：
pfix=[0,0];% 圆心固定点
四、应用案例对比
| 网格类型 | 圆形等边三角形 | 正方形均等四边形 |
|---|---|---|
| 适用场景 | 圆形边界问题（如应力分析） | 正方形区域模拟（如电磁场计算） |
| 节点分布特点 | 边缘密集，中心稀疏 | 均匀分布 |
| 计算效率 | 边界单元更小，收敛更快 | 计算均匀，适合稳态问题 |
| MATLAB函数 | delaunayn+ 迭代优化 | delaunayn+ 四边形单元重构 |
五、常见问题解决
- 网格畸变
- 原因：初始节点分布不均匀或尺寸函数不合理。
- 解决：调整
h0和fh，增加迭代次数。
- 边界节点穿透
- 原因：投影步长过大。
- 解决：减小投影系数（如
0.1改为0.05）。
- 固定点失效
- 原因：固定点未正确添加到
pfix中。 - 解决：检查
pfix坐标是否在几何域内。
- 原因：固定点未正确添加到
参考代码 网格划分程序www.youwenfan.com/contentcsp/96340.html
六、扩展应用
多孔洞网格：通过
dpoly定义多边形区域，结合ddiff实现孔洞。fd=@(p)ddiff(drectangle(p,-1,1,-1,1),dcircle(p,0,0,0.3));自适应网格：根据场量（如温度梯度）动态调整
fh函数。
参考文献
[1] Per-Olof Persson.DistMesh: A Simple Mesh Generator in MATLAB. persson.berkeley.edu/distmesh/
[2] MATLAB官方文档：delaunayTriangulation类使用指南
