5.3 控制系统频率特性图的绘制
控制系统的频率特性可视为由典型环节频率特性组合而成的。
本节将在上一节讨论的基础之上，介绍复杂控制系统频率特性图的绘制问题。一般来说，上节所介绍的典型环节频率特性图的绘制方法，可以推广至复杂控制系统。
在实际中控制系统频率特性图的常用绘制方法有两种：
- 计算机绘制法；
- 工程实用绘制法
应用MATLAB等软件借助计算机绘制控制系统频率特性图，既准确又快速、方便，在实际中得到了广泛的应用，将在5.3.3小节介绍。虽然计算机绘制是一种基本手段，应当掌握，但作为控制工程师更必须掌握工程实用的绘制方法。因为工程实用绘制方法可以快速地画出，既能反映系统频率特性的基本性质和特点又易于绘制、计算量小、工程上实用的控制系统的概略频率特性曲线（或对数渐近频率特性曲线）。它有助于从频率特性角度描述和考察系统(或问题)的概貌、进行初步分析或方案比较、探索解决问题的途径,有助于理解、检验和利用计算机绘制的频率特性图。
故工程实用绘图方法是本节讨论的重点，对数频率特性和幅相频率特性的特点及其工程实用绘制方法将分别在5.3.1和5.3.2小节介绍。
5.3.1 控制系统对数频率特性图的绘制
2.4节已指出，控制系统通常是由环节通过串联、并联、求和以及反馈连接组合而成的。控制系统的传递函数往往可以化为下列由典型环节传递函数表示的形式：
除在原点的零极点外，零极点的模等于其对应时间常数的倒数。
以上式子表明：
- 系统的幅频特性等于各组成环节幅频特性相乘；
- 系统的相频特性等于各组成环节相频特性相加；
- 系统的对数幅频特性和对数相频特性等于各组成环节的对数幅频特性和对数相频特性分别相加。
（1）对数频率特性的低频渐近线
式(5.47)表明：
系统对数频率特性的低频渐近线取决于函数K/(jω)^v，即其：
- 对数相频曲线的低频渐近线是一水平线，其相角为-v90°；
- 对数幅频曲线的低频渐近线是一直线，其斜率为-20vdB/dec ；故斜率的大小取决于v而渐近线的位置取决于增益K。
由式(5.47a)可得：
- 渐近线(或其延长线)与ω=1垂直线的交点所对应的幅值为20lgK；
- 或对于无差系统(v≥1)令|K/(jω)^v|=K/ω^v=1可得，渐近线(或其延长线)与零分贝线(横轴)交点的频率为ω=K^1/v。
故确定对数幅频曲线的低频渐近线的方法是：在伯德图上通过ω=1和L(ω)=20lgK的点画一条斜率为-20vdB/dec的直线，或对于无差系统(v≥1)通过零分贝线(即横轴)上ω=K^1/v的点画同样斜率的直线，即为低频渐近线。
因此，根据上节所介绍的方法可绘制各组成环节的对数频率特性曲线，然后将各环节的对数幅频曲线和对数相频曲线分别相加，则可得系统的对数幅频曲线和对数相频曲线。
- 低频是直线：没有积分只有比例，只需要确定K。
- 过点（0~ω1,20lgK），0~ω1范围内幅值与ω无关；
- 低频是斜线：有积分有比例，需要确定K和v两个参数。
- 过点（ω，20lgK/ω^v），特殊点（1，20lgK）来确定K；
- 看斜率确定v。
（2）对数频率特性图的工程实用绘制方法
虽然上述绘制方法已经比较简单，但是每次要将各组成环节的对数幅频曲线和对数相频曲线都画出来再分别进行相加，仍嫌不便。
在工程上，为了快捷地对系统进行初步分析或综合，往往使用能反映频率特性主要特点、由直线段组成的对数渐近幅频曲线，并采用更简便的方法来绘制对数幅频曲线。
其基本思路是：
- 系统的对数幅频特性为各组成环节的对数幅频特性相加，由于时滞环节的存在只影响系统的相频曲线并不改变其幅频曲线，比例、积分和微分环节主要影响系统的渐近幅频曲线的低频渐近线，而其他典型环节的对数渐近幅频曲线的低频渐近线均为零分贝线，故各环节对数渐近幅频曲线相加，实际上只需对转折频率后的高频段进行；
- 转折频率在数值上等于零极点的模（或对应时间常数的倒数），经转折频率后渐近幅频曲线斜率的改变量也取决于与该转折频率对应的零极点类型：
- 若对应的是实极点则渐近幅频曲线斜率的改变量为
；
- 若对应的是实零点则斜率的改变量
；
- 若对应的是共轭复极点则
；
- 若对应的是共轭复零点则
；
- 若对应的是实极点则渐近幅频曲线斜率的改变量为
- 故转折频率前后段，渐近幅频曲线斜率之间的关系为
这样就可以根据系统的传递函数，首先画出低频渐近线，然后从低频段开始沿频率增大方向，则可逐段地画出系统的对数渐近幅频曲线；如果需要绘制准确的幅频曲线，只需对渐近幅频曲线进行误差修正。因此绘制对数频率特性曲线的工程实用方法及其一般过程如下。
【对数幅频曲线的绘制】
【对数相频曲线的绘制】
【例5.3】……
5.3.2 控制系统幅相频率特性图的绘制
控制系统的幅相频率特性图（又称极坐标图、N图）是当ω从0变化至∞时，系统频率特性的幅值与相角的关系图像。
- 与使用伯德图相比较，采用极坐标图的优点是：它可在一幅图上全面地表示出系统在整个频率范围内的频率特性（包括幅频特性与相频特性），因而在控制系统中特别是在理论研究方面得到了广泛的应用。
- 其不足之处是，不能清晰地表示出各组成环节对系统频率特性的影响。
与对数频率特性图的绘制相类似，控制系统幅相频率特性图的常用绘制方法也有两种：
- 应用MATLAB等软件的计算机绘制法（在下一小节介绍）；
- 工程实用绘制法，包括：
- 根据系统幅相频率特性的特点来绘制；
- 应用伯德图法绘制。
- 其中伯德图法是利用对数频率特性易于绘制的优点，先画系统的伯德图并从图上获得在不同ω下的幅值和相角，然后利用这些数据便可绘制系统的极坐标图。这种方法易于掌握，这里就不再赘述。
本小节将主要介绍：系统幅相频率特性曲线的基本特点，以及该曲线的工程实用绘制方法。
（1）系统幅相频率特性曲线的基本特点
① 低频部分
由式(5.50)可得，频率特性的起始部分为
上式表明，幅相曲线的低频部分取决于系统类型v和增益K。
- 当v=0（即0型系统）时，起始相角φ(0)=0°，幅相曲线的起点位于正实轴上的某一有限点，而且可以证明幅相曲线在ω=0处是与实轴相垂直的；
- 当v=1（即Ⅰ型系统）时，G(j0)的幅值为无穷大，而起始相角φ(0)=-90°，即幅相曲线起始于无穷远处，其低频渐近线是一条平行于负虚轴的直线，它与实轴交点的横坐标为
- 当v=2（即Ⅱ型系统）时，G(j0)的幅值为无穷大，而起始相角为φ(0)=-180°，这时幅相曲线的低频渐近线是一条平行负实轴的直线。
故各型系统幅相曲线低频部分的一般形状，如图5.22(a)所示。
②高频部分
由式(5.50)可得，频率特性高频部分的幅值和相角分别为
这表明：
- 当ω趋于∞时，幅相曲线收敛于坐标原点（当n>m时），或实轴上某一有限值点（当n=m时）；
- 而曲线的方向由式(5.51)决定：
- 如果n>m（大多数控制系统属于这种类型），则幅相曲线G(jω)将沿顺时针方向收敛于坐标原点，而且当ω→∞时G(jω)曲线将与实轴或虚轴相切：
- 若n-m=1则曲线在原点与负虚轴相切；
- 若n-m=2则在原点与负实轴相切；
- 若n-m=3则在原点与正虚轴相切；如图5.22(b)所示。
- 如果n>m（大多数控制系统属于这种类型），则幅相曲线G(jω)将沿顺时针方向收敛于坐标原点，而且当ω→∞时G(jω)曲线将与实轴或虚轴相切：
③幅相曲线中间部分的复杂形状与零极点的复杂分布有关
分析式(5.50)可以看到：
- 若传递函数无零点，频率特性的幅值和相角都将ω随着增大而不断地减小，则G(jω)曲线将沿同一方向单调地变化，而不会出现复杂的形状；
- 若传递函数有零点，则G(jω)曲线的某个部分将可能出现凹凸的复杂形状，而曲线形状复杂的程度与传递函数零极点的复杂分布有关。
（2）幅相频率特性曲线的工程实用绘制方法
一般来说，在ω取值范围内给定一系列ω值，分别计算对应的幅值和相角或实频特性和虚频特性，根据这些数据便可绘制系统的幅相频率特性图。
在工程上，通常并不要求人工绘制准确的幅相频率特性曲线（如果需要可应用计算机绘制），而只需绘制系统的概略曲线就够用了。该概略曲线既易于绘制又能反映幅相频率特性曲线的基本特点，如幅相频率特性曲线的起点、终点、与坐标轴的交点，以及随着ω增大曲线的总体变化趋势等。
现对幅相曲线的绘制方法，举例说明如下。
【例5.4】……
【例5.5】……
【例5.6】……
5.3.3 应用MATLAB绘制控制系统的频率特性图
……
5.4 闭环频率特性
通常G(s)和H(s)是由一些典型环节组合而成的，应用上节所介绍的方法易于绘制系统的开环频率特性。
然而要绘制系统的闭环频率特性则相当费事，因为在式(5.53)或(5.54)中涉及加(减)乘除运算，虽然采用对数坐标，可使乘除运算很方便，但对加(减)运算则不方便。
在控制工程中，广泛使用较容易绘制的开环频率特性来分析或综合闭环控制系统。这是频率响应法的一个特点，从下节开始我们将系统地介绍这种工程实用的方法。
然而这种方法是一种近似的方法，有时需要直接考察系统的闭环频率特性。故本节将介绍闭环频率特性的基本特点，以及如何利用易于获取的开环频率特性（特别是开环对数频率特性）来绘制系统的闭环频率特性图。
5.4.1 应用MATLAB绘制尼克尔斯图
……
5.4.2 闭环频率特性的基本特点
反馈控制系统的频率特性具有下列基本特点：
（1）在低频段Φ(jω)≈1（单位负反馈）——或者Φ(jω)≈1/H(jω)
设反馈控制系统的开环频率特性为G(jω)=A(ω)e^φ(ω)，通常在低频段其幅值A(ω)>>1。对于单位反馈系统，由式(5.54)可得在低频段其闭环频率特性为
上式表明：
- 在闭环频率特性的低频段，由于这时开环幅值远大于1，故单位反馈系统的闭环频率特性Φ(jω)≈1，如图5.37所示。
- 为了使闭环系统的输出尽可能准确地复现输入信号，总是希望在较宽的频率范围内使闭环频率特性Φ(jω)≈1。这就要求在该频率范围内，开环频率特性的增益（或幅值）应尽可能地大。
- 一般来说：一个系统的开环频率特性保持高增益的频率范围越宽，其(闭环)输出复现输入信号就越好，这就是所谓的“高增益原则”。
- 上面所说的开环幅值A(ω)>>1，在工程上只要
就可认为属于这种情况
对于非单位反馈系统，由式(5.52)可得在低频段其闭环频率特性为
这说明：
- 在低频段，由于
，故非单位反馈系统的闭环频率特性近似等于反馈通道频率特性的倒数。
（2）在高频段Φ(jω)≈G(jω)
上面已指出：系统的开环频率特性一般具有低通滤波器的特点，如图5.37中虚线所示。
在高频段|Gk(jω)|<<1，于是闭环频率特性的分母，无论是单位反馈系统还是非单位反馈系统，均可认为1+Gk(jω)≈1，则有
上式表明：在高频段，由于开环频率特性的幅值很小，故反馈控制系统的闭环频率特性与前向通道的频率特性几乎重合，如图5.37所示。它们的幅值均远小于1，这对抑制高频噪声是有利的。在工程上当L(Gk)<-20～-25dB时则可认为|G(jω)|<<1。
（3）在中频段
控制系统的闭环幅频特性曲线的典型形状，如图5.38所示。其中频段的形状对系统暂态特性的影响很大。通常用幅频曲线的特征量：带宽频率ωb、谐振峰值Mr、谐振频率ωr来加以刻画。
它们的定义及其与系统暂态特性之间的关系如下：
① 带宽频率与带宽
由图5.38可见，控制系统的闭环频率特性一般具有低通滤波器的特点。而描述低通滤波器特性的一个重要特征量，是它的频带宽度(简称带宽)。其定义如下(见图5.38)：闭环幅频特性的幅值下降到零频幅值的0.707，或闭环对数幅频特性的增益下降到零频增益值以下3dB时，其对应的频率ωb称为带宽频率或系统的截止(角)频率；0至ωb的频率范围称为系统的带宽(或通频带)。
带宽是系统的一项重要频域性能指标。上面已指出：
系统的带宽越大（即ωb越高）就越能准确地复现输入信号。
但由于受到元部件物理性质的限制和抗干扰性能的要求，系统的带宽很难而且也不宜设计得过宽，否则系统难于实现，而且抑制高频噪声的能力很差，甚至使系统无法正常地工作。在设计时应从对系统的具体要求出发，分清主次，综合加以考虑。
【带宽与系统暂态响应速度之间的关系】
控制系统的带宽与暂态响应的速度具有密切的关系。一般来说：
- 系统的带宽越大，暂态响应的速度就越快；
- 而且对于低阶系统，它们之间还具有确定的函数关系。
对于一阶系统，其传递函数为Φ(s)=1/(Ts＋1)，相应的系统的对数频率特性如图5.7所示。根据定义由图可求得，一阶系统的带宽频率等于其转折频率，即ωb=1/T。
而由式(3.74)～式(3.76)可知：一阶系统暂态响应的时间与T成正比（其延迟时间td=0.69T，上升时间tr=2.2T，调节时间ts=3T～4T），因而也是与ωb成反比的。
这就是说：一阶系统的带宽越大，即带宽频率ωb越高（系统极点p=-1/T=-ωb离虚轴越远），相应的时间常数T便越小，系统响应的速度就越快。
对于二阶规范系统，其闭环传递函数的规范表达式如式(3.78)所示，即
对于高阶系统，根据频率尺度与时间尺度的反比性质（其证明见下一节）：系统的频率特性展宽几倍、单位阶跃响应的速度就加快几倍，同样也可得到类似的结论。因此带宽可作为系统暂态响应速度的度量。系统的带宽越大，即ωb越高，暂态响应的速度就越快，闭环系统对输入信号的复现也就越好。
【例5.11】……
② 谐振峰值与谐振频率
对于高阶系统，虽然难以导出准确的关系式，但是Mr与σp的上述定性关系仍然成立。一般可按下列经验公式进行估算
因此谐振峰值Mr与超调量σp一样，可用来表征系统暂态响应的相对稳定性。Mr超大，暂态响应的振荡倾向便越明显，系统响应的相对稳定性就越差。
工程上实用的随动系统，其谐振峰值一般为Mr=1.1～1.6。
由图5.38可见，谐振频率ωr很接近带宽频率ωb。与ωb相类似，可用ωr来表征系统暂态响应的速度。一般来说：谐振频率越高，系统暂态响应的速度就越快。
- 谐振频率：反映系统快速性；
- 谐振峰值：反映系统平稳性；
5.5 频率特性函数的若干重要性质
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