卷积码：原理、自由距离与灾难性编码器分析
1. 卷积码基础
卷积码是一种重要的编码方式，在通信领域有着广泛应用。对于卷积码，我们可以通过构建一个无限行和列的二进制矩阵 (B(G)) 来进行相关分析。
矩阵 (B(G)) 的形式如下：
[
B(G) =
\begin{bmatrix}
B_0 & B_1 & B_2 & \cdots & B_M \
B_0 & B_1 & B_2 & \cdots & B_M \
B_0 & B_1 & B_2 & \cdots & B_M \
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots
\end{bmatrix}
]
其中空白处元素均为 0。
对于一个最大次数为 (N) 的 (k) 元多项式组 (x)，存在 ((N + 1)) 个 (k \times 1) 的二进制矩阵 (X_0, X_1, \cdots, X_N)，使得 (x = X_0 + X_1D + \cdots + X_ND^N)。将 ((X_0, X_1, \cdots, X_N)) 交织得到长度为 (k(N + 1)) 的二进制向量 (b(x))。当对码字 (c = xG) 进行交织时，其结果恰好为 (b(x)B(G))，并且 (c) 的重量就是 (b(x)B(G)) 的汉明重量。
下面通过一个例子来说明：
对于 ((2, 1)) 码 (C_1) 的编码器 (G_1)，已知 (B_0 = [1 1])
