数据)
时间序列（time series）是一系列有序的数据。通常是等时间间隔的采样数据。如果不是等间隔，则一般会标注每个数据点的时间刻度。
下面以time series 普遍使用的数据 airline passenger为例。 这是十一年的每月乘客数量，单位是千人次。
可以很明显的看出，airline passenger的数据是很有规律的。
time series data mining 主要包括：decompose（分析数据的各个成分，例如趋势，周期性），prediction（预测未来的值），classification（对有序数据序列的feature提取与分类），clustering（相似数列聚类）等。
本文主要讨论prediction（forecast，预测）问题。即已知历史的数据，如何准确预测未来的数据。先从简单的方法说起。
1、给定一个时间序列，要预测下一个的值是多少，最简单的思路是什么呢？
（1）mean（平均值）：未来值是历史值的平均。
（2）exponential smoothing （指数衰减）：当去平均值得时候，每个历史点的权值可以不一样。最自然的就是越近的点赋予越大的权重。
或者，更方便的写法，用变量头上加个尖角表示估计值
（3) snaive ： 假设已知数据的周期，那么就用前一个周期对应的时刻作为下一个周期对应时刻的预测值
（4） drift：飘移，即用最后一个点的值加上数据的平均趋势
介绍完最简单的算法，下面开始介绍两个time series里面最火的两个强大的算法： Holt-Winters 和 ARIMA。 上面简答的算法都是这两个算法的某种特例。
（5）Holt-Winters：三阶指数平滑
Holt-Winters的思想是把数据分解成三个成分：平均水平（level），趋势（trend），周期性（seasonality）。R里面一个简单的函数stl就可以把原始数据进行分解：
一阶Holt—Winters假设数据是stationary的（静态分布），即是普通的指数平滑。
二阶算法假设数据有一个趋势，这个趋势可以是加性的(additive,线性趋势)，也可以是乘性的(multiplicative,非线性趋势)，只是公式里面一个小小的不同而已。
三阶算法在二阶的假设基础上，多了一个周期性的成分。同样这个周期性成分可以是additive和multiplicative的。
举个例子，如果每个二月的人数都比往年增加1000人，这就是additive；如果每个二月的人数都比往年增加120%，那么就是multiplicative。
R里面有Holt-Winters的实现，现在就可以用它来试试效果了。我用前十年的数据去预测最后一年的数据。 性能衡量采用的是RMSE。 当然也可以采用别的metrics：
预测结果如下：
结果还是很不错的。
（6） ARIMA：ARIMA是两个算法的结合：AR和MA。
其公式如下：
是白噪声，均值为0， C是常数。
ARIMA的前半部分就是Autoregressive：
后半部分是moving average：
AR实际上就是一个无限脉冲响应滤波器，MA是一个有限脉冲响应，输入是白噪声。
ARIMA里面的I指差分。ARIMA（p,d,q）就表示p阶AR，d次差分，q阶MA。
2、为什么要进行差分呢？
ARIMA的前提是数据是stationary的，也就是说统计特性，不会随着时间窗口的不同而变化。
用数学表示就是联合分布相同：
当然很多时候并不符合这个要求，例如这里的airline passenger数据。有很多方式对原始数据进行变换可以使之stationary：
（1）差分：例如一阶差分是把原数列每一项减去前一项的值。二阶差分是一阶差分基础上再来一次差分。这是最推荐的做法
（2）先用某种函数大致拟合原始数据，再用ARIMA处理剩余量。例如，先用一条直线拟合airline passenger的趋势，于是原始数据就变成了每个数据点离这条直线的偏移。再用ARIMA去拟合这些偏移量。
（3）对原始数据取log或者开根号。这对variance不是常数的很有效。
如何看数据是不是stationary呢？这里就要用到两个很常用的量了： ACF（auto correlation function）和PACF(patial auto correlation function)。对于non-stationary的数据，ACF图不会趋向于0，或者趋向0的速度很慢。 下面是三张ACF图，分别对应原始数据，一阶差分原始数据，去除周期性的一阶差分数据：
确保stationary之后，下面就要确定p和q的值了。定这两个值还是要看ACF和PACF：
确定好p和q之后，就可以调用R里面的arime函数了。 值得一提的是，R里面有两个很强大的函数： ets 和 auto.arima。 用户什么都不需要做，这两个函数会自动挑选一个最恰当的算法去分析数据。
在R中各个算法的效果如下：
代码如下：
passenger = read.csv(‘passenger.csv’,header=F,sep=’ ')
p<-unlist(passenger)
pt<-ts(p,frequency=12,start=2001)
plot(pt)
train<-window(pt,start=2001,end=2011+11/12)test<-window(pt,start=2012)
library(forecast)
pred_meanf<-meanf(train,h=12)
rmse(test,pred_meanf$mean) #226.2657
pred_naive<-naive(train,h=12)
rmse(pred_naive$mean,test)#102.9765
pred_snaive<-snaive(train,h=12)
rmse(pred_snaive$mean,test)#50.70832
pred_rwf<-rwf(train,h=12, drift=T)
rmse(pred_rwf$mean,test)#92.66636
pred_ses <- ses(train,h=12,initial=‘simple’,alpha=0.2)
rmse(pred_ses$mean,test) #89.77035
pred_holt<-holt(train,h=12,damped=F,initial=“simple”,beta=0.65)
rmse(pred_holt$mean,test)#76.86677 without beta=0.65 it would be 84.41239
pred_hw<-hw(train,h=12,seasonal=‘multiplicative’)
rmse(pred_hw$mean,test)#16.36156
fit<-ets(train)
accuracy(predict(fit,12),test) #24.390252
pred_stlf<-stlf(train)
rmse(pred_stlf$mean,test)#22.07215
plot(stl(train,s.window=“periodic”)) #Seasonal Decomposition of Time Series by Loess
fit<-auto.arima(train)
accuracy(forecast(fit,h=12),test) #23.538735
ma = arima(train, order = c(0, 1, 3), seasonal=list(order=c(0,1,3), period=12))
p<-predict(ma,12)
accuracy(pKaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 13: pred,test) #̲18.55567BT = Bo…residuals, lag=30, type = “Ljung-Box”, fitdf=2)
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