【二分查找-开区间思维】

红蓝染色法

这种写法的核心思想是：不维护搜索区间，而是维护两个“边界指针”。

1. 核心逻辑：(-1, n)

这种写法把数组想象成两种颜色（比如红色和蓝色）：

• 左指针L：始终指向“红色”区域（不满足条件的区域）。
• 右指针R：始终指向“蓝色”区域（满足条件的区域）。
• 目标：找到红蓝交界处。

初始化：

• L = -1（假想数组最左侧有一个不满足条件的哨兵）
• R = n（假想数组最右侧有一个满足条件的哨兵）
• 这样就把所有实际元素0到n-1都包在(L, R)这个开区间里了。

循环条件：

• while L + 1 != R:（或者while L + 1 < R:）
• 解释：当L和R紧挨着的时候（比如L=2, R=3），说明中间没有元素了，边界找到了，循环结束。

更新逻辑：

• 永远不需要+1或-1。
• 如果mid是红色的（不满足条件）：L = mid
• 如果mid是蓝色的（满足条件）：R = mid

2. 代码模板

假设我们要在一个有序数组中找到第一个 >= target的数（即 C++ 中的lower_bound）：

defbinary_search_open_interval(nums,target):# 1. 初始化在数组范围之外left,right=-1,len(nums)# 2. 循环条件：当左右指针相邻时停止whileleft+1!=right:mid=left+(right-left)//2# 3. 染色判断ifnums[mid]>=target:right=mid# mid 是蓝色的（满足条件），右边界收缩到 midelse:left=mid# mid 是红色的（太小了），左边界收缩到 mid# 4. 结果处理# 循环结束时，left 指向最后一个 < target 的数# right 指向第一个 >= target 的数ifright==len(nums):return-1# 没找到，所有数都比 target 小returnright

3. 为什么很多人喜欢这种写法？（优势）

1. 思维负担极低（无脑 mid）：
   你再也不用纠结mid + 1还是mid - 1，也不用担心因为漏了+1导致死循环。因为L和R总是直接赋值为mid，且循环条件保证了mid永远不会等于L或R（只要R - L > 1）。

2. 返回值清晰：

   • 如果你要找第一个满足条件的数，答案永远是R。
   • 如果你要找最后一个不满足条件的数，答案永远是L。
   • 不需要在return left还是return right之间犹豫。

3. 天然处理空数组：
   如果数组是空的，left=-1,right=0，循环根本不会进入，直接返回正确结果，不需要特判。

4. 始终不会越界：
   虽然L和R初始在界外，但计算出的mid永远在[0, n-1]范围内（只要数组非空），所以nums[mid]是安全的。

4. 劣势与注意事项

• 初始化的理解：必须要接受下标-1和n这种“虚拟节点”的概念。
• 死循环风险（微小）：如果你错误地写成了while left < right且内部还是left = mid，那就会死循环。必须严格遵守while left + 1 != right。

总结：我该怎么选？

• 场景 A：单纯查找一个数（是否存在）
  👉闭区间[0, n-1]最简单直接。找到了就 return，找不到拉倒。

• 场景 B：查找边界（第一个 >= X，最后一个 < X，最大化最小值等）
  👉双开区间(-1, n)是无敌的。
  你只需要定义好什么是“蓝”（满足条件），什么是“红”（不满足条件），最后返回R或L即可。

建议：如果你觉得现在的闭区间写法处理“边界问题”经常出错（比如分不清是找左边界还是右边界），强烈建议尝试一下这个**双开区间（红蓝染色）**写法，它能统一所有复杂的二分问题。

这是一个非常棒的问题！这张图其实是在用“红蓝染色”的思想来解释“闭区间写法” (while L <= R)的原理。

简单来说：是的，这就是闭区间写法。

但是，它和我们刚才讨论的“双开区间（红蓝染色法）”在变量定义的细节上是不一样的。为了不让你晕，我来帮你拆解这张图的逻辑。

开区间和闭区间的区别

1. 为什么它是“闭区间”写法？

请看图中的两个关键细节：

1. 最终状态是指针错位（Cross Over）：
   图中R RR在左边（指向 7），L LL在右边（指向 8）。

   • 这意味着L > R L > RL>R（具体是L = R + 1 L = R + 1L=R+1）。
   • 只有闭区间的循环条件while L <= R结束时，才会出现L LL跑到R RR右边的情况。
   • 如果是双开区间(while L + 1 != R)，结束时L LL和R RR是紧挨着的，且L LL在左，R RR在右。

2. 循环不变量的定义（Loop Invariant）：
   图中的文字写着：

   • L − 1 L - 1L−1始终是红色→ \rightarrow→这意味着L指针刚刚跨过了红色区域（Red），L左边的全是红色。对应代码left = mid + 1。
   • R + 1 R + 1R+1始终是蓝色→ \rightarrow→这意味着R指针刚刚跨过了蓝色区域（Blue），R右边的全是蓝色。对应代码right = mid - 1。

2. 这张图在解释哪段代码？

这张图对应的就是最经典的寻找左侧边界（lower_bound）的闭区间模板：

# 闭区间写法left,right=0,n-1whileleft<=right:mid=left+(right-left)//2ifnums[mid]>=target:# 遇到蓝色（满足条件）right=mid-1# 尝试往左找，R 变小，保证 R+1 及其右边全是蓝色else:# 遇到红色（太小了）left=mid+1# 必须跨过去，L 变大，保证 L-1 及其左边全是红色# 循环结束时：# right 指向红色区域的最后一个数 (图中指着 7)# left 指向蓝色区域的第一个数 (图中指着 8)returnleft

3. 和刚才说的“双开区间”有什么区别？

这是最容易混淆的地方，请注意对比：

4. 总结：如何看懂这张图？

这张图的作者其实是在教大家：

即使你写的是传统的while left <= right，你也可以在脑子里用“红蓝染色”来理解它。

• 他把“答案”定义为蓝色。
• 循环结束时，left指针会停在“蓝色的第一个”。
• right指针会停在“红色的最后一个”。
• 所以图中说：R + 1是我们要找的答案（也就是L）。

结论：
如果不喜欢双开区间的-1, n写法，这张图就是你理解闭区间二分（找边界）的最佳思维模型。它完美解释了为什么最后return left而不是return right。

开区间表示的是边界的指针！里面的数是未被染色的数！

在双开区间(L, R)（也就是红蓝染色法）的写法中：

开区间(L, R)里面的元素，就是当前“还未被染色”（也就是还没被检查/判断）的元素区域。

我们可以把整个数组想象成三个区域：

1. 三个区域的定义

1. [ 0 , L ] [0, L][0,L]（闭区间）：已知的红色区域。

   • 这里面的每一个数，我们（或者初始逻辑）都已经确认过，它们是不满足条件的（或者说是“过小”的）。
   • L是红色区域的最前线哨兵。

2. [ R , n − 1 ] [R, n-1][R,n−1]（闭区间）：已知的蓝色区域。

   • 这里面的每一个数，我们也已经确认过，它们是满足条件的（或者说是“足够大”的）。
   • R是蓝色区域的最前线哨兵。

3. ( L , R ) (L, R)(L,R)（开区间）：未知的白色/灰色区域。

   • 这就是你说的“还没被判断”的区域。
   • 我们的目标就是不断缩小这个“未知区域”，直到它消失。

2. 动态过程演示

假设数组是[?, ?, ?, ?, ?]，长度为 5。

初始状态：
L = -1,R = 5。
此时开区间是(-1, 5)。
也就是下标0, 1, 2, 3, 4全都在L和R之间。
含义：“全都没检查过，全是未知区域。”

第一次二分：
mid = 2。我们检查nums[2]。

• 假设nums[2]满足条件（蓝色）。
• 我们将R移动到mid，即R = 2。
• 含义：“哦，我看了一眼中间，发现下标 2 是蓝色的。那么 2 右边的肯定也都是蓝色的（已知）。现在的未知区域变成了(-1, 2)，也就是只剩0, 1没检查了。”

循环结束条件：
while L + 1 != R
当L和R紧挨着（比如L=1, R=2）时，开区间(1, 2)里没有整数了。
含义：“未知区域为空，所有元素都已被归类为红色或蓝色。任务完成。”

3. 对比：闭区间[L, R]是什么意思？

为了加深理解，我们对比一下闭区间写法：

• 开区间(L, R)：L和R是**“墙”（已确定的边界）。我们搜索的是墙中间的空间**。
• 闭区间[L, R]：L和R是**“待查嫌疑人”。我们搜索的是包含L和R在内的整个嫌疑人名单**。

这也是为什么：

• 开区间里，mid检查完后，直接变成新的墙 (L=mid或R=mid)。
• 闭区间里，mid检查完后，必须被剔除 (L=mid+1或R=mid-1)，因为它已经不是嫌疑人了。

总结

你理解得完全到位：

开区间(L, R)就是那个“待探索的未知世界”。
随着算法进行，红蓝阵营（L和R）不断向中间挤压，直到把这个“未知世界”挤得一点不剩（L和R相邻），二分查找就结束了。