Z4 上的编码：二次剩余码的深入解析
在编码理论中，Z4 上的编码有着独特的性质和应用。本文将详细探讨 Z4 上的循环码以及二次剩余码的相关内容，包括生成幂等元、基本性质、扩展码等方面。
1. Z4 上的循环码生成幂等元
对于 Z4 上的循环码，我们可以通过一些方法找到其生成幂等元。例如，已知 (e(x) = b^2(x))，且 (\mu(e(x)) = \mu(b^2(x)) \in \langle\mu( f (x))\rangle) 在 (R_n) 中，那么 (e(x) = u(x) f (x) + 2v(x)) 在 (Z_4[x]) 中。对其平方可得 (e^2(x) = u^2(x) f^2(x))，这意味着 (e^2(x) \in \langle f (x)\rangle) 在 (R_n) 中。由于 (e(x)) 是 (R_n) 中的幂等元，所以 (e(x) \in \langle f (x)\rangle) 或 (\langle e(x)\rangle \subseteq \langle f (x)\rangle)，进而可得 (\langle e(x)\rangle = \langle f (x)\rangle)，且 (e(x) = b^2(x)) 是 (\langle f (x)\rangle) 的生成幂等元。
以 (x^7 - 1) 在 (Z_4[x]) 上的因式分解为例，(x^7 - 1 = g_1(x)g_2(x)g_3(x))，其中 (g_1(x) = x - 1)，(g_2(x) = x^3 + 2x^2 + x - 1)，(g_3(x) = x^3 - x^2 + 2x - 1)。我们要找到 (\langle\hat{g}i(x)\rangl
