(新卷,200分)- 5G网络建设（Java JS Python C）

(新卷,200分)- 5G网络建设（Java & JS & Python & C）

题目描述

现需要在某城市进行5G网络建设，已经选取N个地点设置5G基站，编号固定为1到N，接下来需要各个基站之间使用光纤进行连接以确保基站能互联互通，不同基站之间假设光纤的成本各不相同，且有些节点之间已经存在光纤相连。

请你设计算法，计算出能联通这些基站的最小成本是多少。

注意：基站的联通具有传递性，比如基站A与基站B架设了光纤，基站B与基站C也架设了光纤，则基站A与基站C视为可以互相联通。

输入描述

第一行输入表示基站的个数N，其中：

• 0 < N ≤ 20

第二行输入表示具备光纤直连条件的基站对的数目M，其中：

• 0 < M < N * (N - 1) / 2

从第三行开始连续输入M行数据，格式为

X Y Z P

其中：

X，Y 表示基站的编号

• 0 < X ≤ N
• 0 < Y ≤ N
• X ≠ Y

Z 表示在 X、Y之间架设光纤的成本

• 0 < Z < 100

P 表示是否已存在光纤连接，0 表示未连接，1表示已连接

输出描述

如果给定条件，可以建设成功互联互通的5G网络，则输出最小的建设成本

如果给定条件，无法建设成功互联互通的5G网络，则输出 -1

用例

题目解析

（下图中，虚线代表节点之间可以铺设光纤，但是还没有铺设，实线表示已经铺好了）

用例1图示

用例2图示

用例3图示

本题是经典的最小生成树问题

生成树概念

而在了解最小生成树概念前，我们需要先了解生成树的概念：

在无向连通图中，生成树是指包含了全部顶点的极小连通子图。

生成树包含原图全部的n个顶点和n-1条边。（注意，边的数量一定是n-1）

比如下面无向连通图例子：

根据生成树概念，我们可以基于上面无向连通图，产生多个生成树，下面举几个生成树例子：

如上图我们用n-1条橙色边连接了n个顶点。这样就从无向连通图中产生了生成树。

为什么生成树只能由n-1条边呢？

因为少一条边，则生成树就无法包含所有顶点。多一条边，则生成树就会形成环。

而生成树最重要的两个特性就是：

1、包含所有顶点

2、无环

最小生成树概念

了解了生成树概念后，我们就可以进一步学习最小生成树了。

我们回头看看无向连通图，可以发现每条边都有权重值，比如v1-v2权重值是6，v3-v6权重值是4。

最小生成树指的是，生成树中n-1条边的权重值之和最小。

那么如何才能准确的找出一个无向连通图的最小生成树呢？

有两种算法：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法是基于顶点找最小生成树。Kruskal是基于边找最小生成树。

Prim算法

首先，我们介绍Prim算法：

我们可以选择无向连通图中的任意一个顶点作为起始点，比如我们选v1顶点为起始点

从v1顶点出发，有三条边，我们选择权重最小的1，即将v1-v3相连

此时我们需要将v1-v3看成一个整体，然后继续找这个整体出发的所有边里面的最小的，

可以发现为最小权重为4，因此，将v3-v6相连

接着将v1-v3-v6看出一个整体，找这个整体出发的所有边里面的最小的，可以找到最小权重2，因此将v6-v4相连

但是接下来，我们会发现，从v1-v3-v6-v4整体出发的所有边里面同时有三个最小权重5，那么该如何选择呢？

其实不难看出，如果选择v4-v3，或者v4-v1相连，则对应的生成树就形成了环结构，因此就不符合生成树特性了，因此我们只能选择v3-v2。

（注意：如果有多个相同的最小权重边可选，并且都不会产生环结构，则可以选择其中任意一条边，最终得到结果都是最小生成树）

其实，不仅仅在上面遇到相同权重边时，需要判断是否形成环，在前选择每一条边时都需要判断是否形成环，一旦选择的边能够形成环，那么我们就应该舍弃它，选择第二小的权重边，并继续判断。

按照上面逻辑，我们可以继续找到v1-v2-v3-v4-v6整体出发所有边中的最小权重边3，即将v2-v5相连，并且连接后不会形成环

​​​​​​​

此时选择的边数已经达到了n-1条，因此可以结束逻辑，而现在得到的就是最小生成树。我们可以将这个最小生成数的所有边的权重值之和计算出来为15。

上面这种基于顶点的找最小生成树的方式就是Prim算法。

关于Prim算法具体实现细节请看代码实现，已添加详细注释。

Kruskal算法

接下来介绍Kruskal算法：

Kruskal算法要求我们将所有的边按照权重值升序排序，因此可得：

首先，我们将权重最小的边v1-v3加入，得到下图

​​​​​​​

接着将下个最小权重2的边v4-v6加入

接着继续加最小权重边

​​​​​​​

此时边数已经达到n-1，而刚好这个过程中也没有环的形成，因此得到的就是最小生成树。

但是这里有巧合因素在里面，因为最后一步中，最小权重5的边有多条，如果并不是v2-v3排在前面呢，比如是v1-v4呢？

可以发现，形成了环，因此我们应该舍弃这条边，继续找剩下的最小权重边。最后总能找到v2-v3。

那么判断环的存在就是实现上面Prim算法和Kruskal算法的关键点！

其实，生成树就是一个连通分量，初始时，生成树这个连通分量只有一个顶点（Prim），或者两个顶点（Kruskal），后面会不断合入新的顶点进来，来扩大连通分量范围。

而连通分量可以使用并查集表示，

并查集本质就是一个长度为n的数组（n为无向图的顶点数），数组索引值代表图中某个顶点child，数组索引指向的元素值，代表child顶点的祖先顶点father。

初始时，每个child的father都是自己。即初始时，默认有n个连通分量。

比如 arr = [1,1,1,5,5,5] 数组就可以模拟出一个无向图

• 0顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值）
• 1顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值）
• 2顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值）

我们可以用father指代一个连通分量。比如上面arr = [1,1,1,5,5,5]就有两个连通分量，分别是father为1的连通分量和father为5的连通分量。

最小生成树中的顶点必然都处于同一个连通分量中，因此每加入一个新的顶点child_new，我们我们就可以看它的father是否已经是连通分量对应的father，如果是，则说明顶点child_new其实已经存在于最小生成树中了，因此就产生了环，比如下面例子：

​

上面右图绿色部分（对应连通图中橙色实线），则arr变为

​

上面右图黄色部分（对应连通图中黑色实线），即v4顶点的father改成v1，但是实际上v4的father已经是v1，那么此时如果再强行加入的话，那么就形成了环。

Prim算法和Kruskal算法的适用场景

Prim算法是基于节点操作的，因此Prim算法适用于节点少，边多的情况

Kruskal算法是基于边操作的，因此Kruskal算法适用于节点多，边少的情况。

本题解析

本题属于最小生成树的变种题，区别于板子题，本题中主要是存在一些已经关联好的节点。

比如下面连通图中，2-3是已经连通好的。

其实处理起来也很简单，对于已经关联了的节点，我们可以认为他们之间的边权为0。

即上图中，2-3虽然边权为5，但是由于已经关联好了，因此可以认为实际边权为0。

这样的话，本题就变成最小生成树的板子题了。

JS算法源码

Prim算法

const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin }); var iter = rl[Symbol.asyncIterator](); const readline = async () => (await iter.next()).value; void (async function () { const n = parseInt(await readline()); // 基站数量（节点数） const m = parseInt(await readline()); // 基站对数量（边数） // 邻接矩阵, 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大 const graph = new Array(n + 1) .fill(0) .map(() => new Array(n + 1).fill(Infinity)); for (let i = 0; i < m; i++) { const [x, y, z, p] = (await readline()).split(" ").map(Number); if (p == 0) { // x-y边权为z graph[x][y] = z; graph[y][x] = z; } else { // 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0 graph[x][y] = 0; graph[y][x] = 0; } } function prim() { // 记录最小生成树的边权和 let minWeight = 0; // inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中 const inTree = new Array(n + 1).fill(false); // 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1 inTree[1] = true; // 记录最小生成树中点数量 let inTree_count = 1; // dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离 // 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离 const dis = new Array(n + 1).fill(0).map((_, i) => graph[i][1]); // 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环 while (inTree_count < n) { // 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的 let minDis = Infinity; // minDis 记录这个最近距离 let nodeIdx = 0; // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点 for (let i = 1; i <= n; i++) { // 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的 if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) { minDis = dis[i]; nodeIdx = i; } } // 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联 if (nodeIdx == 0) { // 则说明，当前所有点无法形成最小生成树 return -1; } inTree[nodeIdx] = true; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1 minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和 // dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1） // 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近 for (let i = 1; i <= n; i++) { if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) { // 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离， // 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离 // 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离 dis[i] = graph[nodeIdx][i]; } } } return minWeight; } console.log(prim()); })();

Kruskal算法

const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin }); var iter = rl[Symbol.asyncIterator](); const readline = async () => (await iter.next()).value; void (async function () { const n = parseInt(await readline()); // 基站数量（节点数） const m = parseInt(await readline()); // 基站对数量（边数） const edges = []; for (let i = 0; i < m; i++) { // 边起点, 边终点，边权重，起点和终点是否已关联 const [x, y, z, p] = (await readline()).split(" ").map(Number); if (p == 0) { // 起点和终点未关联 edges.push([x, y, z]); } else { // 起点和终点已关联，则关联代价实际为0 edges.push([x, y, 0]); } } function kruskal() { let minWeight = 0; // 按照边权升序 edges.sort((a, b) => a[2] - b[2]); const ufs = new UnionFindSet(n + 1); // 最先遍历出来是边权最小的边 for (const [x, y, z] of edges) { // 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环 // 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树） if (ufs.find(x) != ufs.find(y)) { minWeight += z; ufs.union(x, y); // 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭， // 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量 // 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量 if (ufs.count == 2) { return minWeight; } } } return -1; } console.log(kruskal()); })(); // 并查集实现 class UnionFindSet { constructor(n) { this.fa = new Array(n).fill(true).map((_, idx) => idx); this.count = n; // 初始时各站点互不相连，互相独立，因此需要给n个站点发送广播 } // 查x站点对应的顶级祖先站点 find(x) { while (x !== this.fa[x]) { x = this.fa[x]; } return x; } // 合并两个站点，其实就是合并两个站点对应的顶级祖先节点 union(x, y) { let x_fa = this.find(x); let y_fa = this.find(y); if (x_fa !== y_fa) { // 如果两个站点祖先相同，则在一条链上，不需要合并 this.fa[y_fa] = x_fa; // 合并站点，即让某条链的祖先指向另一条链的祖先 this.count--; // 一旦两个站点合并，则发送广播次数减1 } } }

Java算法源码

Prim算法

import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); int n = sc.nextInt(); // 基站数量（节点数） int m = sc.nextInt(); // 基站对数量（边数） // 邻接矩阵 int[][] graph = new int[n + 1][n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { // 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大 graph[i][j] = Integer.MAX_VALUE; } } for (int i = 0; i < m; i++) { int x = sc.nextInt(); int y = sc.nextInt(); int z = sc.nextInt(); int p = sc.nextInt(); if (p == 0) { // x-y边权为z graph[x][y] = z; graph[y][x] = z; } else { // 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0 graph[x][y] = 0; graph[y][x] = 0; } } System.out.println(prim(graph, n)); } public static int prim(int[][] graph, int n) { // 记录最小生成树的边权和 int minWeight = 0; // inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中 boolean[] inTree = new boolean[n + 1]; // 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1 inTree[1] = true; // 记录最小生成树中点数量 int inTree_count = 1; // dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离 int[] dis = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) { // 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离 dis[i] = graph[1][i]; } // 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环 while (inTree_count < n) { // 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的 // minDis 记录这个最近距离 int minDis = Integer.MAX_VALUE; // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点 int nodeIdx = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { // 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的 if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) { minDis = dis[i]; nodeIdx = i; } } // 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联 if (nodeIdx == 0) { // 则说明，当前所有点无法形成最小生成树 return -1; } inTree[nodeIdx] = true; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1 minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和 // dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1） // 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近 for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) { // 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离， // 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离 // 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离 dis[i] = graph[nodeIdx][i]; } } } return minWeight; } }

Kruskal算法

import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class Main { // 边 static class Edge { int from; // 边起点 int to; // 边终点 int weight; // 边权重 public Edge(int from, int to, int weight) { this.from = from; this.to = to; this.weight = weight; } } public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); int n = sc.nextInt(); // 基站数量（节点数） int m = sc.nextInt(); // 基站对数量（边数） Edge[] edges = new Edge[m]; for (int i = 0; i < m; i++) { int x = sc.nextInt(); int y = sc.nextInt(); int z = sc.nextInt(); int p = sc.nextInt(); // 如果p==1，则可以认为x-y边权为0 edges[i] = new Edge(x, y, p == 0 ? z : 0); } System.out.println(kruskal(edges, n)); } public static int kruskal(Edge[] edges, int n) { int minWeight = 0; // 按照边权升序 Arrays.sort(edges, (a, b) -> a.weight - b.weight); UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(n + 1); // 最先遍历出来是边权最小的边 for (Edge edge : edges) { // 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环 // 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树） if (ufs.find(edge.from) != ufs.find(edge.to)) { minWeight += edge.weight; ufs.union(edge.from, edge.to); // 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭， // 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量 // 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量 if (ufs.count == 2) { return minWeight; } } } return -1; } } // 并查集 class UnionFindSet { int[] fa; int count; public UnionFindSet(int n) { this.fa = new int[n]; this.count = n; for (int i = 0; i < n; i++) this.fa[i] = i; } public int find(int x) { if (x != this.fa[x]) { return (this.fa[x] = this.find(this.fa[x])); } return x; } public void union(int x, int y) { int x_fa = this.find(x); int y_fa = this.find(y); if (x_fa != y_fa) { this.fa[y_fa] = x_fa; this.count--; } } }

Python算法源码

Prim算法

import sys # 输入获取 n = int(input()) # 基站数量（节点数） m = int(input()) # 基站对数量（边数） # 邻接矩阵, 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大 graph = [[sys.maxsize for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)] for _ in range(m): x, y, z, p = map(int, input().split()) if p == 0: # x-y边权为z graph[x][y] = z graph[y][x] = z else: # 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0 graph[x][y] = 0 graph[y][x] = 0 # Prim算法 def prim(): # 记录最小生成树的边权和 minWeight = 0 # inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中 inTree = [False] * (n + 1) # 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1 inTree[1] = True # 记录最小生成树中点数量 inTree_count = 1 # dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离 # 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离 dis = [0] * (n + 1) for i in range(1, n + 1): dis[i] = graph[1][i] # 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环 while inTree_count < n: # 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的 minDis = sys.maxsize # minDis 记录这个最近距离 nodeIdx = 0 # idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点 for i in range(1, n+1): # 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的 if not inTree[i] and dis[i] < minDis: minDis = dis[i] nodeIdx = i # 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联 if nodeIdx == 0: # 则说明，当前所有点无法形成最小生成树 return -1 inTree[nodeIdx] = True # 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx inTree_count += 1 # 最小生成树中点数量+1 minWeight += dis[nodeIdx] # 更新最小生成树的权重和 # dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1） # 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近 for i in range(1, n+1): if not inTree[i] and graph[nodeIdx][i] < dis[i]: # 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离， # 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离 # 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离 dis[i] = graph[nodeIdx][i] return minWeight # 算法调用 print(prim())

Kruskal算法

# 并查集实现 class UnionFindSet: def __init__(self, n): self.fa = [i for i in range(n)] self.count = n def find(self, x): if x != self.fa[x]: self.fa[x] = self.find(self.fa[x]) return self.fa[x] return x def union(self, x, y): x_fa = self.find(x) y_fa = self.find(y) if x_fa != y_fa: self.fa[y_fa] = x_fa self.count -= 1 # 输入获取 n = int(input()) # 基站数量（节点数） m = int(input()) # 基站对数量（边数） edges = [] for _ in range(m): # 边起点，边终点，边权重（起点和终点关联代价），起点是否已和终点关联 x, y, z, p = map(int, input().split()) if p == 0: # 起点和终点未关联 edges.append([x, y, z]) else: # 起点和终点已关联，则实际关联代价为0 edges.append([x, y, 0]) # kruskal算法 def kruskal(): minWeight = 0 # 按照边权升序 edges.sort(key=lambda x: x[2]) ufs = UnionFindSet(n+1) # 最先遍历出来是边权最小的边 for x, y, z in edges: # 如果x节点 和 y节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环 # 因此只有当x节点 和 y节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树） if ufs.find(x) != ufs.find(y): minWeight += z ufs.union(x, y) # 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭， # 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量 # 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量 if ufs.count == 2: return minWeight return -1 # 算法入口 print(kruskal())

C算法源码

Prim算法

#include <stdio.h> #include <limits.h> int n, m; // 基站数量（节点数）,基站对数量（边数） int graph[21][21]; // 邻接矩阵 int prim() { // 记录最小生成树的边权和 int minWeight = 0; // inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中 int inTree[21] = {0}; // 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1 inTree[1] = 1; // 记录最小生成树中点数量 int inTree_count = 1; // dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离 int dis[21]; for (int i = 1; i <= n; i++) { // 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离 dis[i] = graph[1][i]; } // 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环 while (inTree_count < n) { // 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的 int minDis = INT_MAX; // minDis 记录这个最近距离 int nodeIdx = 0; // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的 if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) { minDis = dis[i]; nodeIdx = i; } } // 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联 if (nodeIdx == 0) { // 则说明，当前所有点无法形成最小生成树 return -1; } inTree[nodeIdx] = 1; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1 minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和 // dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1） // 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近 for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) { // 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离， // 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离 // 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离 dis[i] = graph[nodeIdx][i]; } } } return minWeight; } int main() { scanf("%d %d", &n, &m); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { // 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大 graph[i][j] = INT_MAX; } } for (int i = 0; i < m; i++) { int x, y, z, p; scanf("%d %d %d %d", &x, &y, &z, &p); if (p == 0) { // x-y边权为z graph[x][y] = z; graph[y][x] = z; } else { // 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0 graph[x][y] = 0; graph[y][x] = 0; } } printf("%d\n", prim()); return 0; }

Kruskal算法

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> /** 并查集定义 **/ typedef struct { int *fa; int count; } UFS; UFS *new_UFS(int n) { UFS *ufs = (UFS *) malloc(sizeof(UFS)); ufs->fa = (int *) malloc(sizeof(int) * n); for (int i = 0; i < n; i++) { ufs->fa[i] = i; } ufs->count = n; return ufs; } int find_UFS(UFS *ufs, int x) { if (x != ufs->fa[x]) { ufs->fa[x] = find_UFS(ufs, ufs->fa[x]); return ufs->fa[x]; } return x; } void union_UFS(UFS *ufs, int x, int y) { int x_fa = find_UFS(ufs, x); int y_fa = find_UFS(ufs, y); if (x_fa != y_fa) { ufs->fa[y_fa] = x_fa; ufs->count--; } } /*** 边定义 ***/ typedef struct Edge { int from; // 边起点 int to; // 边终点 int weight; // 边权重 } Edge; int n, m; Edge *edges; int cmp(const void* a, const void* b) { return ((Edge*) a)->weight - ((Edge*) b)->weight; } int kruskal() { int minWeight = 0; // 按照边权升序 qsort(edges, m, sizeof(Edge), cmp); UFS* ufs = new_UFS(n + 1); // 最先遍历出来是边权最小的边 for(int i=0; i<m; i++) { int x = edges[i].from; int y = edges[i].to; int z = edges[i].weight; // 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环 // 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树） if(find_UFS(ufs, x) != find_UFS(ufs, y)) { minWeight += z; union_UFS(ufs, x, y); // 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭， // 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量 // 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量 if(ufs->count == 2) { return minWeight; } } } return -1; } int main() { scanf("%d %d", &n, &m); edges = (Edge*) malloc(sizeof(Edge) * m); for (int i = 0; i < m; i++) { int x, y, z, p; scanf("%d %d %d %d", &x, &y, &z, &p); edges[i].from = x; edges[i].to = y; if(p == 0) { edges[i].weight = z; } else { // 如果p==1，则可以认为x-y边权为0 edges[i].weight = 0; } } printf("%d\n", kruskal()); return 0; }