12.2 动态行走与平衡控制：基于预测与鲁棒性原理的稳定步态生成
12.2.1 引言：从静态平衡到动态行走的范式演进
人形机器人的行走问题被公认为是机器人学中最具挑战性的任务之一。早期的人形机器人多采用“静态行走”策略，其核心是通过精心规划足部轨迹，确保机器人的零力矩点始终位于稳定的支撑多边形内，从而在任何时刻都能立即停止而不摔倒。然而，这种策略导致动作缓慢、能耗高且无法应对突发扰动。
现代高性能人形机器人，如波士顿动力公司的Atlas和Agility Robotics的Digit，均采用动态行走范式。动态行走承认并利用机器人的动力学特性，允许甚至需要机器人处于“持续跌倒”的状态，通过主动的腿部摆动和身体姿态调整，在动态过程中周期性地恢复平衡。这种范式使机器人能够实现快速、高效、类人的步态，并对外部扰动具备更强的鲁棒性。实现动态行走的核心在于三个紧密耦合的技术支柱：基于模型的步态生成、实时平衡恢复策略以及高精度的状态估计。
12.2.2 基于模型预测控制的步态生成
模型预测控制因其处理多变量约束和进行前馈优化的能力，已成为动态步态生成的主流框架。其核心思想是：在每个控制周期，基于当前状态和一个简化的动力学模型，在线求解一个有限时域的最优控制问题，并将解的第一个控制动作应用于系统，如此滚动进行。
12.2.2.1 预测模型：线性倒立摆与飞轮模型
为了满足MPC在线求解的实时性要求（通常要求数毫秒内求解），必须使用高度简化但能捕获步行核心动力学的预测模型。最经典且有效的模型是线性倒立摆模型与飞轮模型的组合。
线性倒立摆模型：假设机器人总质量集中于质心，腿部无质量，且质心在恒定高度zcz_czc上运动。此时，水平面(x,y)(x, y)(x,y)的运动解耦，并由一个二阶线性系统描述。例如，在侧向平面有：
y¨=gzc(y−py)\ddot{y} = \frac{g}{z_c} (y - p_y)y¨=zcg(y−py)
其中yyy是质心侧向位置，pyp_ypy是支撑点（脚掌中心压力点）的侧向位置，ggg是重力加速度。该模型揭示了质心水平加速度与质心相对于支撑点位置的比例关系。LIPM的优点是动力学线性且易于分析，其自然频率为ω=g/zc\omega = \sqrt{g/z_c}ω=g/zc。飞轮模型扩展：基本的LIPM无法描述躯干角动量对支撑点力矩的影响。为了控制躯干姿态和角动量，在质心上附加一个虚拟的“飞轮”，其角动量LLL的变化率等于作用在质心上的净力矩τ\tauτ：L˙=τ\dot{L} = \tauL˙=τ。飞轮角动量的变化会产生反作用力矩，从而影响支撑点压力，为平衡控制提供了一个额外的执行机构。
在MPC框架中，通常将离散化的LIPM+飞轮模型写作状态空间形式：
xk+1=Axk+Bukx_{k+1} = A x_k + B u_kxk+1=Axk
