如图25.8中频域所示，数字下变频的一般方法源自模拟下变频和采样。第1行和“=”
行上的频谱表示系统中不同节点上的信号，“*”行和“x”行上的频谱分别表示把那些把信
号相关起来的频谱卷积以及逐点频谱相乘运算。
图中第1行画出了一个实数中频（IF）信号示意图，这个信号的单边带宽和双边带宽分
别为40MHz和80MHz，正频率分量和负频率分量的中心分别位于75MHz和-75MHz。图25.8
中的第二行用一个-75MHz的本振频率通过频谱卷积将中频信号频移（很快我们将看到这是
如何用硬件实现的）。第3行上的结果的频率分量中心位于0Hz和-150MHz。与第4行中的
低通滤波器频率响应相乘，于是去除了-150MHz的分量，只留下第5行的复数基带信号，这
个信号有一个双边带宽和40MHz的奈奎斯特频率。第6行上的频率卷积对应于在时域上将
第5行表示的信号与一个以50MHz采样频率采样的均匀脉冲序列相乘。在时域中，结果就是
一个50MHz的采样脉冲序列，其值是第5行信号在采样时刻的采样值（我们忽略比例因子)。
当然，我们在硬件中不会生成第7行中的脉冲，而是在寄存器中以数来数字地实现脉冲区域。
通俗解释就是：
第 1 行 — 实数中频（IF）信号：两个对称的频谱包
图 1 行画的是一个实值中频信号的频谱。实信号在频域总是成对出现：正频率分量和负频率分量是对称的。
在图中，这两个“包”各自围绕 +75 MHz 和 −75 MHz 展开（两侧合起来是“总带宽”）。
比喻：就像频谱在 +75 和 −75 两个地方各站了一群人（能量），每群人占一定宽度（带宽）。
第 2 行 — 用本振（LO）把频谱“搬走”（频率变移 / 混频）
在图里把中心在 +75MHz 的那一群移动到 0Hz（基带），而原来在 −75MHz 的那一群被移动到 −150MHz。于是频谱变成了两个新的“包”：一个在 0Hz，另一个在 −150MHz（第 3 行所示结果）。
第 3 → 第 4 行 — 用低通滤波器去掉远处的“镜像”
现在你有两个“包”：靠近 0 的包（有价值）和远在 −150MHz 的包（镜像 / 图像成分）。
把信号通过低通滤波器（LPF），可以把靠近 0 的包保留下来，去掉远处的 −150MHz 包。
这是经典的去除混频后“镜像频谱”的做法。结果是第 5 行：只剩下靠近 0Hz 的那部分 —— 这就是复数基带信号（complex baseband）。
第 5 行 — 复数基带信号（把频谱移到 0 附近）
剩下的信号称为复数基带，它在中心 0 附近对称展开（即双边带围绕 0）。
复数基带的好处：带通信息被“搬到”低频（便于数字处理），而且 I/Q 能区分正负频率信息（防止二义性）。
第 6 行 — 采样在频域就是把频谱“复制”成很多份
第 7 行 — 在时域上看采样：用脉冲“挑取”取样点
在实际数字系统中，我们不会物理上产生窄脉冲把模拟信号“打孔”，而是用 ADC（模数转换器）在时刻把值读入寄存器；数学上等价于乘以冲激列。
第 7 行就是展示了被采样后的离散脉冲序列的频谱（每个脉冲代表一个采样值），以及在寄存器中以数字形式保存的效果。
为什么要先下变频再采样？
把高频信息搬到低频，便于用较低速率的 ADC 采样（节省硬件资源）或降低后续数字处理的计算量。
用低通滤波去掉镜像，可以得到干净的基带（避免 aliasing）。
IQ（复数基带）能保留相位信息，这是很多通信 / 雷达处理不可或缺的（例如相位解调、方位信息等）。
常见的两种实现方式（硬件上）
直接射频复数下变频（IQ 混频）→ 低通 → ADC 采样基带：这是现代接收机常见形式，能得到复数基带直接供数字处理。
先用实 LO 混频成低频再用 LPF → ADC：如果仅用实余弦作 LO，会产生对称镜像，必须滤掉；适用于只需要功率或幅值的场合。
小结
图中先把 IF 的频谱“搬移”（混频）使有用部分落到 0 附近；
再用低通滤波把不需要的镜像去掉，得到复数基带；
最后用采样（ADC）把连续时间基带变成离散时间序列——在频域上采样会把基带频谱周期性复制（所以设计采样率和滤波器时要注意避免频谱重叠 / 折叠）。
代码实现及可视化
#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- """ IF -> IQ 混频 -> LPF -> 采样 仿真（中文注释与绘图） 保存图像为 PNG 并在终端打印参数说明（中文）。 依赖： pip install numpy matplotlib 用法： python if_iq_sim_chinese.py 注意： - 脚本会尝试在系统字体中选择常见中文字体（SimHei、Noto Sans CJK、WenQuanYi 等）。 如果系统没有中文字体，matplotlib 可能无法正确显示中文文字；脚本会打印提示并继续运行。 - 可修改脚本顶部的参数来改变采样率、带宽、SNR 等。 """ import numpy as np import matplotlib import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import font_manager import os # ------------------ 参数区（可调整） ------------------ # 内部“模拟”采样率（用于离散化连续时间以做 FFT / 仿真） fs_cont = 500e6 # Hz duration = 1e-4 # 秒 N = int(np.round(fs_cont * duration)) t = np.arange(N) / fs_cont f_center = 75e6 # 中频中心频率 +75 MHz bandwidth = 40e6 # 信号带宽（双边带总宽度），Hz half_bw = bandwidth / 2 Fs = 50e6 # ADC 采样率（最终采样率），Hz decim = int(np.round(fs_cont / Fs)) if decim < 1: decim = 1 SNR_dB = 20.0 # 添加噪声的目标 SNR (dB) # LPF 截止频率（单位：Hz），建议 <= Fs/2（留有过渡带） lpf_cutoff = 25e6 # 输出图像保存目录 out_dir = "sim_plots" os.makedirs(out_dir, exist_ok=True) # ------------------ 自动选择中文字体 ------------------ def choose_chinese_font(): # 常见中文字体候选（名称或文件名中匹配） candidates = [ "SimHei", "SimSun", "Noto Sans CJK", "NotoSansCJK", "WenQuanYi", "AR PL", "Microsoft YaHei", "PingFang", "Heiti SC", "STHeiti", "Source Han Sans", "SourceHanSans", "Noto Sans CJK SC", "Arial Unicode MS" ] sys_fonts = font_manager.findSystemFonts(fontpaths=None, fontext='ttf') sys_names = [font_manager.FontProperties(fname=f).get_name() for f in sys_fonts] # 尝试按优先候选匹配系统字体名称 for cand in candidates: for idx, name in enumerate(sys_names): if cand.lower() in name.lower(): return sys_fonts[idx], name # 如果没有候选，尝试返回第一个系统字体 if sys_fonts: return sys_fonts[0], font_manager.FontProperties(fname=sys_fonts[0]).get_name() return None, None font_path, font_name = choose_chinese_font() if font_path: try: matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = [font_name] matplotlib.rcParams['font.family'] = 'sans-serif' matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False font_notice = f"已选用系统字体：{font_name}（文件：{os.path.basename(font_path)}）" except Exception: font_notice = "尝试设置中文字体失败，仍使用 matplotlib 默认字体显示。" else: font_notice = ("未在系统中找到可识别的字体。若中文不能正常显示，" "请在系统中安装常见中文字体（例如 SimHei、Noto Sans CJK、WenQuanYi 或 Microsoft YaHei）。") print(font_notice) # ------------------ 构造实值 IF 信号（在频域直接造谱以便控制形状） ------------------ freqs = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(N, d=1/fs_cont)) Spec = np.zeros(N, dtype=complex) # 在 +75 MHz 附近创建一个宽带平顶谱（示意） mask_plus = np.logical_and(freqs >= (f_center - half_bw), freqs <= (f_center + half_bw)) # 由实信号对称，负频谱为共轭镜像 np.random.seed(2) Spec[mask_plus] = np.exp(1j*2*np.pi*np.random.rand(mask_plus.sum())) Spec[np.logical_and(freqs <= (-f_center + half_bw), freqs >= (-f_center - half_bw))] = np.conj(Spec[mask_plus]) # 变回时域（确保为实信号） sig_if = np.real(np.fft.ifft(np.fft.ifftshift(Spec))) * N sig_if = sig_if / np.std(sig_if) # 归一化信号功率为 1 # ------------------ IQ 混频（复数 LO） ------------------ lo = np.exp(-1j * 2 * np.pi * f_center * t) # 复数 LO：把 +f_center 下移到 0 sig_mixed = sig_if * lo # 结果为复数（I + jQ） # ------------------ 加 AWGN（根据指定 SNR） ------------------ power_sig = np.mean(np.abs(sig_mixed)**2) SNR_linear = 10**(SNR_dB / 10.0) noise_power = power_sig / SNR_linear noise = np.sqrt(noise_power/2) * (np.random.randn(N) + 1j*np.random.randn(N)) sig_mixed_noisy = sig_mixed + noise # ------------------ 低通滤波器（FIR 窗口化 sinc） ------------------ num_taps = 801 # 滤波器 taps（越大过渡带越窄，但计算量增大） m = np.arange(num_taps) - (num_taps - 1) / 2 fc_norm = lpf_cutoff / fs_cont # 截止频率相对于采样率 h = 2 * fc_norm * np.sinc(2 * fc_norm * m) h *= np.hamming(num_taps) h /= np.sum(h) # 卷积滤波（same 长度） sig_filtered = np.convolve(sig_mixed_noisy, h, mode='same') # ------------------ 采样（降采样 / 抽取） ------------------ sig_sampled = sig_filtered[::decim] fs_sampled = fs_cont / decim t_sampled = np.arange(len(sig_sampled)) / fs_sampled # ------------------ 频谱绘图辅助函数（中文注释） ------------------ def plot_spectrum_save(x, fs, title, filename, xlim_mhz=300, ref_max_db=0): """ 绘制并保存频谱图 - x: 信号（可以为复数） - fs: 采样率（Hz） - title: 图标题（中文） - filename: 保存文件路径 """ Nfft = len(x) X = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x)) mag = 20 * np.log10(np.abs(X) + 1e-12) mag = mag - np.max(mag) + ref_max_db # 以峰值为参考 freqs_mhz = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(Nfft, d=1.0/fs)) / 1e6 plt.figure(figsize=(10,4)) plt.plot(freqs_mhz, mag, linewidth=1) plt.xlim(-xlim_mhz, xlim_mhz) plt.ylim(-80, 5) plt.grid(True, linestyle=':') plt.xlabel("频率 / MHz") plt.ylabel("幅度 / dB（相对于峰值）") plt.title(title) # 添加图中文字体说明（若字体可用） plt.tight_layout() plt.savefig(filename, dpi=200) plt.close() def plot_time_save(t_axis, x, title, filename, samples_to_plot=800): plt.figure(figsize=(10,3)) n = min(samples_to_plot, len(x)) # 若是复数，绘制实部与虚部 if np.iscomplexobj(x): plt.plot(t_axis[:n]*1e6, x[:n].real, label='实部') plt.plot(t_axis[:n]*1e6, x[:n].imag, label='虚部', alpha=0.8) else: plt.plot(t_axis[:n]*1e6, x[:n], label='波形') plt.xlabel("时间 / 微秒") plt.ylabel("幅度") plt.title(title) plt.legend() plt.grid(True, linestyle=':') plt.tight_layout() plt.savefig(filename, dpi=200) plt.close() # ------------------ 保存图像 ------------------ # 1) 原始 IF 频谱（连续模拟仿真） plot_spectrum_save(sig_if, fs_cont, "1) 原始实值 IF 频谱（±75 MHz）", os.path.join(out_dir, "01_if_spectrum.png"), xlim_mhz=300) # 2) IQ 混频后（+75 MHz → 0Hz） plot_spectrum_save(sig_mixed, fs_cont, "2) IQ 混频后（将 +75 MHz 下移到 0 Hz）", os.path.join(out_dir, "02_mixed_spectrum.png"), xlim_mhz=300) # 3) 混频并加噪 plot_spectrum_save(sig_mixed_noisy, fs_cont, f"3) 混频后 + AWGN（SNR = {SNR_dB} dB）", os.path.join(out_dir, "03_mixed_noisy_spectrum.png"), xlim_mhz=300) # 4) 低通滤波后（复基带） plot_spectrum_save(sig_filtered, fs_cont, f"4) 低通滤波后（截止 = {lpf_cutoff/1e6:.1f} MHz）→ 复基带", os.path.join(out_dir, "04_filtered_spectrum.png"), xlim_mhz=100) # 5) 采样后（显示重复谱） plot_spectrum_save(sig_sampled, fs_sampled, f"5) 采样后（Fs = {fs_sampled/1e6:.1f} MHz） — 频谱周期复制出现", os.path.join(out_dir, "05_sampled_spectrum.png"), xlim_mhz=150) # 6) 时域波形快照：原始 IF、混频后、采样后 plot_time_save(t, sig_if, "时域：原始实值 IF（前若干样本）", os.path.join(out_dir, "time_if.png")) plot_time_save(t, sig_mixed_noisy, "时域：混频后复基带（含噪声）", os.path.join(out_dir, "time_mixed_noisy.png")) plot_time_save(t_sampled, sig_sampled, "时域：采样后复基带（实部显示）", os.path.join(out_dir, "time_sampled.png")) # ------------------ 打印参数与说明（中文） ------------------ print("仿真参数（中文说明）：") print("--------------------------------------------") print(f"内部等效采样 fs_cont = {fs_cont/1e6:.1f} MHz，仿真样本数 N = {N}") print(f"IF 中心频率 f_center = {f_center/1e6:.1f} MHz，信号带宽 = {bandwidth/1e6:.1f} MHz（双边带）") print(f"目标 ADC 采样率 Fs = {Fs/1e6:.1f} MHz，抽取因子 decim = {decim}，实际采样率 fs_sampled = {fs_sampled/1e6:.3f} MHz") print(f"LPF 截止频率 = {lpf_cutoff/1e6:.1f} MHz，FIR taps = {num_taps}") print(f"添加噪声的 SNR = {SNR_dB:.1f} dB（参考混频后信号功率）") print("") print(f"图像已保存到目录：{os.path.abspath(out_dir)}") print("主要图像文件：") for fn in sorted(os.listdir(out_dir)): print(" -", fn) print("") print("说明：") print(" 1) 原始 IF（实值）在频域表现为 ±75 MHz 对称的两个带（对应书中第 1 行）。") print(" 2) IQ 混频相当于把 +75 MHz 带下移到 0 Hz，负频谱部分会被移到 -150 MHz（对应书中第 2、3 行）。") print(" 3) 低通滤波会保留靠近 0 的基带，去掉远处的镜像（对应书中第 4、5 行）。") print(" 4) 采样会在频域产生每 Fs 周期的谱复制（对应书中第 6、7 行）；若 LPF 过宽或 Fs 过低会造成频谱重叠（混叠）。") print("") print("如果需要：") print(" - 我可以把脚本改为在绘图窗口直接弹出显示（交互式），或把每张图的分辨率 / 轴范围 / LPF 参数进一步调优。") print(" - 或者我可以把脚本改为 Jupyter + ipywidgets 交互版，实时调整 SNR、Fs、LPF 截止等参数。")运行结果
仿真参数（中文说明）： -------------------------------------------- 内部等效采样 fs_cont = 500.0 MHz，仿真样本数 N = 50000 IF 中心频率 f_center = 75.0 MHz，信号带宽 = 40.0 MHz（双边带） 目标 ADC 采样率 Fs = 50.0 MHz，抽取因子 decim = 10，实际采样率 fs_sampled = 50.000 MHz LPF 截止频率 = 25.0 MHz，FIR taps = 801 添加噪声的 SNR = 20.0 dB（参考混频后信号功率） 图像已保存到目录：D:\workplace\LLM\sim_plots 主要图像文件： - 01_if_spectrum.png - 02_mixed_spectrum.png - 03_mixed_noisy_spectrum.png - 04_filtered_spectrum.png - 05_sampled_spectrum.png - time_if.png - time_mixed_noisy.png - time_sampled.png 说明： 1) 原始 IF（实值）在频域表现为 ±75 MHz 对称的两个带（对应书中第 1 行）。 2) IQ 混频相当于把 +75 MHz 带下移到 0 Hz，负频谱部分会被移到 -150 MHz（对应书中第 2、3 行）。 3) 低通滤波会保留靠近 0 的基带，去掉远处的镜像（对应书中第 4、5 行）。 4) 采样会在频域产生每 Fs 周期的谱复制（对应书中第 6、7 行）；若 LPF 过宽或 Fs 过低会造成频谱重叠（混叠）。
