1.斯密特正交化简介
2.斯密特正交化实例
3.斯密特正交化QR矩阵
1.斯密特正交化简介
斯密特正交化是线性代数中一种将线性无关向量转化为等价正交组,并进一步得到标准正交基的 经典算法;该算法的本质是利用向量投影,从一组线性无关向量{v1,v2,v3...vk}构造出 一组正交向量{u1,u2,...uk},两者张成相同的子空间;再将正交向量单位化,得到标准 正交基{e1,e2...ek}
2.斯密特正交化实例
假设线性无关向量组为v1,v2,v3,步骤如下:
![]()
a.选取列向量线性无关的矩阵
![]()
b.正交化(构造正交向量v1,v2,v3)-第一个正交向量
![]()
-第二个正交向量
![]()
-第三个正交向量
![]()
c.单位化(构造标准正交基q1,q2,q3)
![]()
d.得出正交矩阵
![]()
3.斯密特正交化QR矩阵
矩阵A经过斯密特正交化变成Q矩阵("正交且单位化"),若q1,q2,…,qn是Rm空间的标准正交基， 则对任意向量b∈Rm,都可以唯一表示为
![]()
-a1是q1的线性组合-a2是q1,q2的线性组合-a3是q1,q2,q3的线性组合-ak是q1,q2,q3...qk的线性组合
![]()
斯密特正交化将矩阵A分解为Q和R,R是上三角矩阵,对于上三角矩阵来说,若对角线元素不等于0,则矩阵可逆,因此R是可逆矩阵
