前言
结构动力修改(Structural Dynamic Modification, SDM)技术通过有限元模型研究结构物理参数（如质量、阻尼、刚度等）或几何参数（如厚度、长度、截面积等）的变化对其动力学特性（如固有频率、振型、传递函数等）的影响规律，从而实现对目标动力学参数的精确调控。
SDM通常需要考虑两个不同的问题—正问题和逆问题。其中，正问题指已经建立修改参数和修改效果的关系，直接增减参数或修改有限元模型的参数数值计算修改结果。这一过程已经在前期的文章进行了介绍，本文主要介绍SDM逆问题。
所谓SDM逆问题，是指在已知一组可供调整的参数集合中，为达到预期的动力学参数目标值逆向求解所需的最优修改参数及其具体修改量。因此，该问题本质上是一类优化问题：在满足实际工程约束的条件下，通过系统化的搜寻与迭代，确定使结构动力学响应趋近于目标状态的最佳参数调整方案。该过程不仅需要明确参数修改的范围与步长，还需兼顾修改后的结构在静强度、工艺可行性与成本等方面的综合影响，因而往往需借助优化算法与工程判断相结合的方式进行求解。
1. SDM的逆问题
1.1 修改目标的灵敏度分析
灵敏度分析作为求解逆问题的理论基石，是量化目标参数（模态频率、特征向量）对物理参数（单元质量、刚度、设计参数等）变化的重要方法，其具体意义在于：
- 定性指导：告诉用户修改哪些参数对目标频率/振型影响最大，即最“敏感”（例如，增加某个连接处的刚度对提高某阶频率最有效）。
- 线性近似：在较小修改范围内，可以用灵敏度进行一阶泰勒展开，快速估算修改效果：
- 作为优化问题的梯度矩阵：为后续的系统化优化算法提供关键的方向导数。
假设n个自由度的线性和离散化的比例阻尼结构，其动态特性可以用如下振动微分方程（也称运动方程）来描述：
公式(1)对应的无阻尼系统的振动微分方程为
上式对应的广义特征值问题，如下：
可解得无阻尼系统的特征值（系统固有频率）和特征向量（系统振型）为
公式(1)描述的比例阻尼系统与无阻尼系统的特征向量相同，特征值则变为
1）固有频率对质量和刚度的灵敏度
由轻阻尼系统特征值在节点处灵敏度为：
式中，mii与kii分别表示M与K第i行、第i列元素，φir表示第r阶固有频率对应振型第i行元素。
上式表明：（1）在原有结构节点自由度方向上实施修改，结构频率在该测试节点自由度上的修改效果与该位置振型幅值的平方成正比；（2）结构固有频率对质量参数的灵敏度为负数，表示增加质量结构固有频率降低；（3）结构固有频率对刚度参数的灵敏度为正数，表示增加刚度，结构固有频率增加。
若将改变第r阶固有频率ωr，可只在该特征值灵敏度较大点即该模态振型幅值较大测试节点改变质量，对应的灵敏度为：
若将改变第r阶固有频率ωr，可只在该特征值灵敏度较大点即该模态振型幅值较大测试节点改变刚度，对应的灵敏度为：
2）固有频率对设计参数的灵敏度
待修改参数是在模型的设计参数中选取的，可以是材料属性，几何参数或边界条件等。当改变原始模型的待修改参数p=(p1,p2,…pn)时，模型的固有频率、振型等修改对象f会随之改变。因此可以将修改对象视为待修改参数p的函数，记作f(p)。为了将问题线性化，在初始位置f(p)处，将f(p)进行一阶泰勒展开：
上式中，∆p为待修改参数的变化量，p0为待修改参数的初始值。则，对于m个修改对象，n个待修改参数得到的灵敏度矩阵为
将公式（10）代入公式（9）得：
在求解特征值的灵敏度问题时，主要有两个重要的约束方程：特征方程和加权正交性方程。
对上述两式的两边分别对结构的第j个参数求微分：
化简上述公式，得到结构的第r阶特征值（固有频率平方）对结构的第j个设计参数的导数为
1.2 修改值优化问题
其中，fs(p)和ft(p)分别为修改对象的有限元仿真值和试验值，pmin和pmax分别为待修改参数取值范围的最小值和最大值。利用Lagrange乘数法（Lagrange Multiplier Method, LMM）联立公式（3）和公式（4），得：
进而，设计参数的变化量可表示为
式中上标+表示广义逆。然而，即使采用广义逆算法，待修改参数的类型不同时，其大小的数量级波动较大，使灵敏度矩阵极易出现病态，所以灵敏度矩阵的元素需要进行归一化处理，一种归一化的方式如下：
为了使迭代计算更加高效准确，分别对待修改参数的变化量∆p和修改对象的误差∆E进行加权处理，目标函数变为
式中，Wp和We分别为变化量∆p和修改对象的误差∆E的加权项，λ2为加权系数。本文以模态频率和模态振型MAC值为修改对象，加权系数矩阵We可表示如下：
式中，Wf为频率加权系数对角矩阵，WMAC为模态振型MAC值得加权系数对角阵。公式（8）中Wp可表示为
对公式（8）中的变化量∆p求偏导，以求目标函数的极小值，解得：
当待修改参数灵敏度不高的数量越多或STWeS条件数越大时，要求λ2取值越大。通过上式求得第k次变化量∆pk修改新的待修改参数：
1.3 结构动力修改逆问题与模型修正的区别
结构动力修改逆问题与模型修正的求解都涉及灵敏度分析和参数迭代求解算法，但两者有者本质的不同。两者的区别如下：
表1 结构动力学修改与模型修正的不同点
SDM和模型修正在实际工程中往往是前后衔接、相互依赖的：模型修正是SDM可靠实施的前提。如果用一个本身就不准确的有限元模型去做SDM，那么预测的修改效果也必然是错误的，可能导致灾难性的设计决策。因此，必须先通过模型修正，获得一个可信的基准模型。
2. 应用案例
下面使用汉航NTS.LAB Link软件中的模型修改模块来介绍结构动力修改逆问题分析方法在工程中的应用。
（1）在汉航NTS.LAB Link中导入有限元模型，选择“动力学分析”模块，计算原结构的模态频率和模态振型。图1为模态计算结果的振型显示：
图1 NTS.LAB Link 的动力学分析和振型显示
（2）选择“模型修改”模块进入结构动力修改页面，选择修改条件为“基于已有参数”，修改目标为“模态频率”。
（3）单击“目标选择”按钮，打开模态频率打开对话框，选择前两阶结构模态频率（前6阶为刚体模态，结构模态从第7阶开始）作为修改目标。默认目标频率会相对原频率偏移20%，如图2所示：
图2 目标模态频率选择
（4）单击“修改区域选择”按钮，打开结构的修改区域选择对话框，根据结构中已有的物理参数和几何参数定义的子结构进行分类显示，如图3所示。选择四个区域修改参数，如图4所示：
图3 按参数选择区域
图4 选定的目标量与待修改量
（4）单击“摄动优选”按钮，进行修改参数的灵敏度计算，结果如图5所示：
图5 参数扰动分析结果
（7）图5中结果表明，底板的杨氏模量和厚度对目标模态频率影响较高，其侧板的密度和弹簧刚度对目标模态频率的影响可以忽略，将这两项参数从列表中删除。单击“自动设修改值”按钮，完成逆向求解参数值，结果如图6所示：
图6 自动设置的修改参数值
（8）单击“结构动力学修改”按钮，软件进行自行计算，并显示修改后的结果，如图7所示：
图7 修改结果显示
