CSP-J教程——第一阶段第十一课：函数与递归初步

课程目标

• 理解函数的概念和优势
• 掌握函数的定义、声明和调用
• 理解参数传递（值传递）的机制
• 理解返回值的意义和使用
• 初步了解递归的概念
• 学会将复杂问题模块化

第一部分：函数的基本概念（40分钟）

1.1 什么是函数？

生活比喻：

• 厨房电器：微波炉、烤箱 - 输入食材，输出熟食，我们不需要知道内部原理
• 快递员：把包裹（参数）交给快递员，他负责送到目的地（返回值）
• 工厂生产线：每个工人（函数）负责特定的工序

1.2 为什么需要函数？

没有函数的困境：

#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){// 计算圆的面积（重复代码）doubleradius1=5.0;doublearea1=3.14159*radius1*radius1;cout<<"圆1的面积: "<<area1<<endl;doubleradius2=3.0;doublearea2=3.14159*radius2*radius2;cout<<"圆2的面积: "<<area2<<endl;doubleradius3=7.0;doublearea3=3.14159*radius3*radius3;cout<<"圆3的面积: "<<area3<<endl;return0;}

使用函数的便利：

#include<iostream>usingnamespacestd;// 定义计算圆面积的函数doublecalculateCircleArea(doubleradius){return3.14159*radius*radius;}intmain(){// 使用函数计算圆的面积cout<<"圆1的面积: "<<calculateCircleArea(5.0)<<endl;cout<<"圆2的面积: "<<calculateCircleArea(3.0)<<endl;cout<<"圆3的面积: "<<calculateCircleArea(7.0)<<endl;return0;}

1.3 函数的优势

1. 代码复用：避免重复编写相同代码
2. 模块化：将复杂问题分解为小问题
3. 可读性：函数名可以描述功能，代码更易理解
4. 易于维护：修改功能只需修改一个地方
5. 团队协作：不同程序员可以负责不同函数

第二部分：函数的定义和调用（60分钟）

2.1 函数的组成部分

函数定义语法：

返回类型 函数名(参数列表){// 函数体return返回值;// 如果返回类型不是void}

2.2 无参数无返回值的函数

#include<iostream>usingnamespacestd;// 函数定义：显示欢迎信息voidshowWelcome(){cout<<"****************"<<endl;cout<<"* 欢迎使用！ *"<<endl;cout<<"****************"<<endl;}// 函数定义：显示菜单voidshowMenu(){cout<<"\n=== 菜单 ==="<<endl;cout<<"1. 开始游戏"<<endl;cout<<"2. 设置"<<endl;cout<<"3. 退出"<<endl;cout<<"============"<<endl;}intmain(){// 函数调用showWelcome();showMenu();cout<<"程序继续执行..."<<endl;// 可以多次调用同一个函数showMenu();return0;}

2.3 带参数无返回值的函数

#include<iostream>usingnamespacestd;// 函数定义：显示指定次数的消息voidshowMessage(string message,inttimes){for(inti=0;i<times;i++){cout<<message<<endl;}}// 函数定义：显示个人信息voidshowPersonInfo(string name,intage,doubleheight){cout<<"\n=== 个人信息 ==="<<endl;cout<<"姓名: "<<name<<endl;cout<<"年龄: "<<age<<"岁"<<endl;cout<<"身高: "<<height<<"米"<<endl;}// 函数定义：打印指定行数和列数的图案voidprintPattern(charsymbol,introws,intcols){for(inti=0;i<rows;i++){for(intj=0;j<cols;j++){cout<<symbol<<" ";}cout<<endl;}}intmain(){// 调用带参数的函数showMessage("Hello, Function!",3);showPersonInfo("小明",12,1.65);printPattern('*',4,6);return0;}

2.4 带返回值的函数

#include<iostream>usingnamespacestd;// 函数定义：计算两个数的和intadd(inta,intb){intresult=a+b;returnresult;// 返回计算结果}// 函数定义：判断一个数是否为偶数boolisEven(intnumber){returnnumber%2==0;// 直接返回布尔表达式的结果}// 函数定义：计算阶乘intfactorial(intn){intresult=1;for(inti=1;i<=n;i++){result*=i;}returnresult;}// 函数定义：获取成绩等级chargetGrade(intscore){if(score>=90)return'A';elseif(score>=80)return'B';elseif(score>=70)return'C';elseif(score>=60)return'D';elsereturn'E';}intmain(){// 使用带返回值的函数intsum=add(5,3);cout<<"5 + 3 = "<<sum<<endl;// 直接在表达式中使用函数调用cout<<"10 + 15 = "<<add(10,15)<<endl;// 使用判断函数intnum=7;if(isEven(num)){cout<<num<<" 是偶数"<<endl;}else{cout<<num<<" 是奇数"<<endl;}// 使用计算函数cout<<"5的阶乘 = "<<factorial(5)<<endl;// 使用等级函数intscore=85;cout<<"成绩 "<<score<<" 的等级是: "<<getGrade(score)<<endl;return0;}

第三部分：参数传递机制（50分钟）

3.1 值传递（Pass by Value）

值传递的特点：

• 函数接收参数的副本，不是原始变量
• 在函数内修改参数不会影响原始变量
• 就像复印文件，修改复印件不影响原件

#include<iostream>usingnamespacestd;// 值传递示例voidmodifyValue(intx){cout<<"函数内修改前: x = "<<x<<endl;x=x*2;// 修改参数的值cout<<"函数内修改后: x = "<<x<<endl;}// 交换两个数的值（错误版本）voidswapWrong(inta,intb){inttemp=a;a=b;b=temp;cout<<"函数内: a = "<<a<<", b = "<<b<<endl;}// 计算矩形面积和周长voidcalculateRectangle(doublelength,doublewidth,double&area,double&perimeter){area=length*width;perimeter=2*(length+width);}intmain(){// 值传递示例intnum=5;cout<<"调用函数前: num = "<<num<<endl;modifyValue(num);cout<<"调用函数后: num = "<<num<<endl;cout<<"注意：num的值没有改变！"<<endl;cout<<"\n--- 交换函数测试 ---"<<endl;intx=10,y=20;cout<<"交换前: x = "<<x<<", y = "<<y<<endl;swapWrong(x,y);cout<<"交换后: x = "<<x<<", y = "<<y<<endl;cout<<"注意：x和y的值没有交换！"<<endl;return0;}

3.2 多返回值问题

#include<iostream>usingnamespacestd;// 方法1：使用多个函数（不推荐）doublecalculateArea(doublelength,doublewidth){returnlength*width;}doublecalculatePerimeter(doublelength,doublewidth){return2*(length+width);}// 方法2：使用引用参数（后续课程详细讲解）voidcalculateRectangle(doublelength,doublewidth,double&area,double&perimeter){area=length*width;perimeter=2*(length+width);}// 方法3：使用数组或结构体（后续课程学习）intmain(){doublelen=5.0,wid=3.0;// 方法1：调用多个函数doublearea1=calculateArea(len,wid);doubleperimeter1=calculatePerimeter(len,wid);cout<<"方法1 - 面积: "<<area1<<", 周长: "<<perimeter1<<endl;// 方法2：使用引用参数doublearea2,perimeter2;calculateRectangle(len,wid,area2,perimeter2);cout<<"方法2 - 面积: "<<area2<<", 周长: "<<perimeter2<<endl;return0;}

第四部分：函数声明和定义分离（30分钟）

4.1 为什么需要函数声明？

问题场景：

#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){// 错误：函数在调用之后定义intresult=multiply(5,3);// 编译错误！cout<<"结果: "<<result<<endl;return0;}// 函数定义在main之后intmultiply(inta,intb){returna*b;}

4.2 函数声明（函数原型）

解决方案：函数声明 + 函数定义

#include<iostream>usingnamespacestd;// 函数声明（函数原型）intmultiply(inta,intb);voidshowInfo(string name,intage);doublecalculateBMI(doubleweight,doubleheight);boolisPrime(intnumber);intmain(){// 现在可以正确调用函数了cout<<"5 × 3 = "<<multiply(5,3)<<endl;showInfo("小明",12);doublebmi=calculateBMI(45.0,1.65);cout<<"BMI: "<<bmi<<endl;intnum=17;if(isPrime(num)){cout<<num<<" 是质数"<<endl;}else{cout<<num<<" 不是质数"<<endl;}return0;}// 函数定义intmultiply(inta,intb){returna*b;}voidshowInfo(string name,intage){cout<<"姓名: "<<name<<", 年龄: "<<age<<endl;}doublecalculateBMI(doubleweight,doubleheight){returnweight/(height*height);}boolisPrime(intnumber){if(number<=1)returnfalse;for(inti=2;i*i<=number;i++){if(number%i==0)returnfalse;}returntrue;}

4.3 多文件组织（了解概念）

// math_functions.h - 头文件（函数声明）#ifndefMATH_FUNCTIONS_H#defineMATH_FUNCTIONS_Hintadd(inta,intb);intmultiply(inta,intb);doubledivide(doublea,doubleb);#endif// math_functions.cpp - 源文件（函数定义）#include"math_functions.h"intadd(inta,intb){returna+b;}intmultiply(inta,intb){returna*b;}doubledivide(doublea,doubleb){if(b!=0)returna/b;elsereturn0;}// main.cpp - 主程序#include<iostream>#include"math_functions.h"usingnamespacestd;intmain(){cout<<"5 + 3 = "<<add(5,3)<<endl;cout<<"5 × 3 = "<<multiply(5,3)<<endl;cout<<"10 ÷ 3 = "<<divide(10,3)<<endl;return0;}

第五部分：递归初步（50分钟）

5.1 什么是递归？

递归的概念：

• 函数直接或间接调用自身
• 像俄罗斯套娃，大娃娃里面有小娃娃
• 像镜子对着镜子，无限反射

生活比喻：

• 讲故事：“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在讲故事：从前有座山…”
• 查字典：查一个词，解释中又有不认识的词，继续查…

5.2 递归的基本结构

递归三要素：

1. 基准情况：递归结束的条件
2. 递归调用：函数调用自身
3. 向基准情况推进：每次调用都更接近结束条件

5.3 递归示例：阶乘计算

数学定义：

• 0! = 1（基准情况）
• n! = n × (n-1)!（递归关系）

#include<iostream>usingnamespacestd;// 递归函数：计算阶乘intfactorial(intn){// 基准情况if(n==0||n==1){cout<<"到达基准情况: factorial("<<n<<") = 1"<<endl;return1;}// 递归调用cout<<"计算 factorial("<<n<<") = "<<n<<" × factorial("<<n-1<<")"<<endl;intresult=n*factorial(n-1);cout<<"返回 factorial("<<n<<") = "<<result<<endl;returnresult;}intmain(){intnumber=5;cout<<"计算 "<<number<<" 的阶乘:"<<endl;intresult=factorial(number);cout<<number<<"! = "<<result<<endl;return0;}

5.4 递归示例：斐波那契数列

数学定义：

• F(0) = 0
• F(1) = 1
• F(n) = F(n-1) + F(n-2)

#include<iostream>usingnamespacestd;// 递归函数：计算斐波那契数列intfibonacci(intn){// 基准情况if(n==0)return0;if(n==1)return1;// 递归调用returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}// 显示斐波那契数列voidshowFibonacci(intcount){cout<<"斐波那契数列前"<<count<<"项: ";for(inti=0;i<count;i++){cout<<fibonacci(i)<<" ";}cout<<endl;}intmain(){showFibonacci(10);// 计算单个斐波那契数intn=6;cout<<"斐波那契数列第"<<n<<"项: "<<fibonacci(n)<<endl;return0;}

5.5 递归的优缺点

优点：

• 代码简洁，表达力强
• 适合解决分治问题
• 符合数学定义

缺点：

• 可能效率较低（重复计算）
• 可能栈溢出（递归深度太大）
• 可能难以理解

第六部分：综合应用示例（60分钟）

6.1 数学工具包

#include<iostream>#include<cmath>usingnamespacestd;// 函数声明voidshowMenu();intadd(inta,intb);intsubtract(inta,intb);intmultiply(inta,intb);doubledivide(inta,intb);intpower(intbase,intexponent);intfactorial(intn);intgcd(inta,intb);// 最大公约数boolisPrime(intnumber);intmain(){intchoice;do{showMenu();cout<<"请选择操作: ";cin>>choice;if(choice>=1&&choice<=4){inta,b;cout<<"请输入第一个数字: ";cin>>a;cout<<"请输入第二个数字: ";cin>>b;switch(choice){case1:cout<<a<<" + "<<b<<" = "<<add(a,b)<<endl;break;case2:cout<<a<<" - "<<b<<" = "<<subtract(a,b)<<endl;break;case3:cout<<a<<" × "<<b<<" = "<<multiply(a,b)<<endl;break;case4:if(b!=0){cout<<a<<" ÷ "<<b<<" = "<<divide(a,b)<<endl;}else{cout<<"错误：除数不能为0！"<<endl;}break;}}elseif(choice==5){intbase,exp;cout<<"请输入底数: ";cin>>base;cout<<"请输入指数: ";cin>>exp;cout<<base<<"^"<<exp<<" = "<<power(base,exp)<<endl;}elseif(choice==6){intn;cout<<"请输入要计算阶乘的数: ";cin>>n;if(n>=0){cout<<n<<"! = "<<factorial(n)<<endl;}else{cout<<"错误：阶乘只能计算非负整数！"<<endl;}}elseif(choice==7){inta,b;cout<<"请输入第一个数: ";cin>>a;cout<<"请输入第二个数: ";cin>>b;cout<<a<<"和"<<b<<"的最大公约数是: "<<gcd(a,b)<<endl;}elseif(choice==8){intnumber;cout<<"请输入要检查的数: ";cin>>number;if(isPrime(number)){cout<<number<<" 是质数"<<endl;}else{cout<<number<<" 不是质数"<<endl;}}elseif(choice!=0){cout<<"无效选择！"<<endl;}}while(choice!=0);cout<<"感谢使用数学工具包！"<<endl;return0;}// 函数定义voidshowMenu(){cout<<"\n=== 数学工具包 ==="<<endl;cout<<"1. 加法"<<endl;cout<<"2. 减法"<<endl;cout<<"3. 乘法"<<endl;cout<<"4. 除法"<<endl;cout<<"5. 幂运算"<<endl;cout<<"6. 阶乘"<<endl;cout<<"7. 最大公约数"<<endl;cout<<"8. 质数判断"<<endl;cout<<"0. 退出"<<endl;}intadd(inta,intb){returna+b;}intsubtract(inta,intb){returna-b;}intmultiply(inta,intb){returna*b;}doubledivide(inta,intb){returnstatic_cast<double>(a)/b;}intpower(intbase,intexponent){intresult=1;for(inti=0;i<exponent;i++){result*=base;}returnresult;}intfactorial(intn){if(n==0||n==1)return1;returnn*factorial(n-1);}intgcd(inta,intb){if(b==0)returna;returngcd(b,a%b);}boolisPrime(intnumber){if(number<=1)returnfalse;for(inti=2;i*i<=number;i++){if(number%i==0)returnfalse;}returntrue;}

6.2 图形绘制工具

#include<iostream>usingnamespacestd;// 函数声明voiddrawRectangle(intwidth,intheight,charsymbol);voiddrawTriangle(intheight,charsymbol);voiddrawDiamond(intsize,charsymbol);voiddrawChristmasTree(intlevels);intmain(){intchoice;cout<<"=== 图形绘制工具 ==="<<endl;// 绘制矩形cout<<"\n1. 绘制矩形:"<<endl;drawRectangle(8,4,'*');// 绘制三角形cout<<"\n2. 绘制三角形:"<<endl;drawTriangle(5,'#');// 绘制菱形cout<<"\n3. 绘制菱形:"<<endl;drawDiamond(5,'+');// 绘制圣诞树cout<<"\n4. 绘制圣诞树:"<<endl;drawChristmasTree(4);return0;}// 函数定义：绘制矩形voiddrawRectangle(intwidth,intheight,charsymbol){for(inti=0;i<height;i++){for(intj=0;j<width;j++){cout<<symbol;}cout<<endl;}}// 函数定义：绘制三角形voiddrawTriangle(intheight,charsymbol){for(inti=1;i<=height;i++){// 打印空格for(intj=1;j<=height-i;j++){cout<<" ";}// 打印符号for(intj=1;j<=2*i-1;j++){cout<<symbol;}cout<<endl;}}// 函数定义：绘制菱形voiddrawDiamond(intsize,charsymbol){// 上半部分for(inti=1;i<=size;i++){for(intj=1;j<=size-i;j++)cout<<" ";for(intj=1;j<=2*i-1;j++)cout<<symbol;cout<<endl;}// 下半部分for(inti=size-1;i>=1;i--){for(intj=1;j<=size-i;j++)cout<<" ";for(intj=1;j<=2*i-1;j++)cout<<symbol;cout<<endl;}}// 函数定义：绘制圣诞树voiddrawChristmasTree(intlevels){for(intlevel=1;level<=levels;level++){intheight=level+1;for(inti=1;i<=height;i++){// 打印空格for(intj=1;j<=levels-i+1;j++){cout<<" ";}// 打印星号for(intj=1;j<=2*i-1;j++){cout<<"*";}cout<<endl;}}// 树干for(inti=0;i<2;i++){for(intj=1;j<=levels;j++){cout<<" ";}cout<<"|"<<endl;}}

练习与作业

基础练习（必做）

练习1：数学函数库
创建以下数学函数：

1. square(int n)- 返回n的平方
2. cube(int n)- 返回n的立方
3. isEven(int n)- 判断n是否为偶数
4. isPositive(int n)- 判断n是否为正数
5. max(int a, int b)- 返回a和b中的较大值

练习2：温度转换器
编写温度转换函数：

1. celsiusToFahrenheit(double celsius)- 摄氏转华氏
2. fahrenheitToCelsius(double fahrenheit)- 华氏转摄氏
3. 编写主程序让用户选择转换方向并输入温度

练习3：字符串处理函数
创建字符串处理函数：

1. stringLength(string str)- 返回字符串长度（不用内置函数）
2. countVowels(string str)- 统计元音字母个数
3. reverseString(string str)- 返回反转后的字符串

挑战练习（选做）

挑战1：递归深度探索

1. 编写递归函数计算数字的各位数之和
2. 编写递归函数判断字符串是否是回文
3. 测试递归深度限制，找出你的计算机最多支持多深的递归

挑战2：函数组合应用
创建一个"数字分析器"程序，包含以下功能：

1. 判断质数
2. 计算所有因数
3. 判断完美数（等于其所有真因数之和的数）
4. 判断阿姆斯特朗数（各位数字立方和等于自身的数）

挑战3：模块化游戏
将之前学过的猜数字游戏重构为模块化程序：

• generateRandomNumber()- 生成随机数
• getUserGuess()- 获取用户猜测
• giveHint(int guess, int target)- 给出提示
• playGame()- 游戏主逻辑

实验任务

任务1：函数调用栈实验
通过调试或输出语句跟踪以下递归函数的执行过程：

voidcountDown(intn){if(n<0)return;cout<<"进入: countDown("<<n<<")"<<endl;countDown(n-1);cout<<"离开: countDown("<<n<<")"<<endl;}

任务2：值传递验证
设计实验验证值传递机制：

voidtestValuePassing(intx){x=100;cout<<"函数内: x = "<<x<<endl;}// 调用后检查原始变量是否改变

任务3：函数性能测试
比较递归和迭代版本的阶乘函数：

• 测试计算20!的时间
• 测试能计算的最大阶乘值
• 分析两种方法的优缺点

学习总结

今天学到了：

• ✅函数概念：模块化编程的基本单元
• ✅函数定义：返回类型、函数名、参数列表、函数体
• ✅函数调用：使用函数执行特定任务
• ✅参数传递：值传递机制和特点
• ✅返回值：函数执行结果的返回
• ✅函数声明：提前声明函数原型
• ✅递归初步：函数调用自身的编程技巧

关键技能：

• 模块化设计：将复杂问题分解为函数
• 接口设计：设计合理的函数参数和返回值
• 代码复用：通过函数避免重复代码
• 递归思维：用递归方式解决自相似问题

下一课预告：

下一节课我们将学习排序与查找算法，包括选择排序、冒泡排序、顺序查找和二分查找，这是算法学习的重要基础！