 基于变分模态分解-核主成分分析-物理信息神经网络的多变量时序预测 matlab代码)
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🔥 内容介绍
一、多变量时序预测的挑战与意义
挑战：多变量时间序列预测旨在根据多个相关变量的历史数据预测未来某一变量的值。实际应用中的时间序列往往具有复杂性，变量之间存在复杂的非线性关系，且可能包含噪声、趋势和季节性等多种特征。此外，数据维度较高时，容易出现 “维数灾难” 问题，增加预测难度。
意义：准确的多变量时序预测在众多领域都具有重要意义。在金融领域，可用于预测股票价格、汇率等，帮助投资者做出决策；在能源领域，能预测电力负荷、能源消耗等，辅助能源规划与管理；在气象领域，有助于预测气温、降水等气象要素，提高气象预报的准确性。
二、变分模态分解（VMD）原理
基本概念：变分模态分解是一种自适应的信号分解方法，它将复杂的时间序列信号分解为多个具有不同中心频率的固有模态函数（IMF）分量。与经验模态分解（EMD）相比，VMD 具有更好的抗噪声能力和模态混叠抑制能力。
分解过程：VMD 将每个 IMF 分量视为一个调幅 - 调频信号，通过构建并求解变分问题来确定每个 IMF 的中心频率和带宽。具体来说，首先对每个 IMF 分量进行希尔伯特变换，得到解析信号，进而构造出具有不同中心频率的模态函数。然后，通过交替方向乘子法（ADMM）迭代更新各模态函数和拉格朗日乘子，以最小化变分问题的目标函数，最终实现信号的分解。这些 IMF 分量反映了原始信号在不同时间尺度上的特征，有助于更好地理解和分析时间序列。
三、核主成分分析（KPCA）原理
主成分分析（PCA）回顾：PCA 是一种常用的降维方法，它通过线性变换将原始高维数据投影到低维空间，同时尽可能保留数据的方差信息。其核心思想是找到一组正交的主成分，使得数据在这些主成分上的投影方差最大。
KPCA 扩展：KPCA 在 PCA 的基础上引入核函数。对于非线性数据，直接使用 PCA 可能无法有效提取特征。KPCA 通过核函数将原始数据映射到高维特征空间，在高维空间中进行 PCA 操作。常用的核函数有高斯核函数、多项式核函数等。通过核函数的非线性映射，KPCA 能够捕捉数据中的非线性关系，从而在降维的同时更好地保留数据的内在结构。在多变量时间序列预测中，KPCA 可对 VMD 分解后的多个 IMF 分量进行处理，降低数据维度，减少冗余信息，同时保留对预测有重要影响的特征。
四、物理信息神经网络（PINN）原理
结合物理规律与神经网络：PINN 将物理定律融入神经网络的训练过程。传统神经网络在处理问题时，主要基于数据驱动，缺乏对问题物理本质的理解。PINN 通过在损失函数中添加物理约束项，使神经网络的训练不仅拟合观测数据，还满足相关的物理方程。
训练过程：对于多变量时序预测问题，首先构建一个神经网络来学习输入变量与输出变量之间的关系。然后，根据问题所涉及的物理规律，如守恒定律、动力学方程等，将物理方程转化为神经网络的约束条件。在训练过程中，通过最小化包含数据拟合项和物理约束项的损失函数，调整神经网络的参数。这样训练得到的 PINN 模型既能利用数据中的信息，又能遵循物理规律，提高预测的准确性和泛化能力。
五、VMD - KPCA - PINN 多变量时序预测流程
数据预处理与 VMD 分解：对多变量时间序列数据进行预处理，如归一化等操作。然后，利用 VMD 将每个变量的时间序列分解为多个 IMF 分量，将原始复杂的时间序列分解为不同时间尺度上的简单分量，便于后续分析。
KPCA 降维：将 VMD 分解得到的所有 IMF 分量组合成高维数据矩阵，使用 KPCA 对其进行降维处理。通过选择合适的核函数和参数，将高维数据投影到低维空间，去除冗余信息，保留关键特征，降低计算复杂度。
PINN 预测模型构建与训练：将 KPCA 降维后的数据作为 PINN 的输入，构建神经网络结构。根据预测问题的物理背景，确定物理约束条件并添加到损失函数中。通过不断迭代训练 PINN，调整网络参数，使模型在拟合历史数据的同时满足物理规律。
预测与评估：使用训练好的 VMD - KPCA - PINN 模型对未来数据进行预测。将预测结果与实际值进行比较，通过合适的评估指标（如均方根误差、平均绝对误差等）评估模型的预测性能，分析模型的准确性和可靠性。
通过 VMD - KPCA - PINN 相结合的方法，充分发挥 VMD 的信号分解能力、KPCA 的降维与特征提取能力以及 PINN 融合物理规律与数据驱动的优势，有效应对多变量时序预测中的复杂问题，提高预测精度和模型的泛化性能。
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
%% THE DATA FOR THE Scaled-Down 4 NODES POWER GRID
% THE power Grid has 8 multi state components distributed over 4 nodes:
%idx> Description
%1&2> 2 controllable and degradable generators in nodes 1 and 4
%3&4> 2 non-controllable Loads in nodes 2 and 3
%5&6> 2 non-controllable renewable energy sources
%7&8> 2 non-controllable degradable links (1-2 and 1-3)
%% the system components' states
% Total Combination of states Ns= 4^2* 3^2 *3^2 *3^2=11664 states combinations
% S_{Deg,Gen,i}={ASAN deg_1 deg_2 Failed}_i \forall i=1,2
% S_{Loads,i}={L_1 L_2 L_3}_i \forall i=1,2
% S_{Pow,res,i}={Pres_1 Pres_2 Pres_3}_i \forall i=1,2
% S_{Deg,link,i}={ASAN deg_1 Failed}_i \forall i=1,2
%% Opeartive States (OP) indices
% OperativeStates.Idx{1}=[1 2 3]; % Generator Power 1 (controllable, but affected by Degradation state)
% OperativeStates.Idx{2}=[1 2 3]; % Generator Power 2 (controllable, but affected by Degradation state)
% OperativeStates.Idx{3}=[1 2 3]; % Load 1 (random)
% OperativeStates.Idx{4}=[1 2 3]; % Load 2 (random)
% OperativeStates.Idx{5}=[1 2 3]; % Renewable 1 (random)
% OperativeStates.Idx{6}=[1 2 3]; % Renewable 2 (random)
% OperativeStates.Idx{7}=[1 2]; % Line G1-L1 (random depend on Deg State)
% OperativeStates.Idx{8}=[1 2]; % Line G1-L1 (random depend on Deg State)
%% OP Values
OperativeStates.Val{1}=[40 50 100 0 0]; % Generator Power 1 [MW] (controllable)
OperativeStates.Val{2}=[60 70 120 0 0]; % Generator Power 2 [MW] (controllable)
%OperativeStates.Idx.C2 % State of Carge 1
OperativeStates.Val{3}=[60 100 140]; % Load 1 [MW] (random loads)
OperativeStates.Val{4}=[20 50 110]; % Load 2 [MW] (random loads)
OperativeStates.Val{5}=[0 20 30]; % Renewable 1 [MW] (random renewable production)
OperativeStates.Val{6}=[0 20 60]; % Renewable 2 [MW] (random renewable production)
OperativeStates.Val{7}=[1 0 0]; % Line G1-L1 (1 operative 0 failed)
OperativeStates.Val{8}=[1 0 0]; % Line G1-L1 (1 operative 0 failed)
%% DEGRADATION (DEG) States indices
DegradationStates.Idx{1}=[1 2 3 4]; % Generator 1
DegradationStates.Idx{2}=[1 2 3 4]; % Generator 1
for i=3:6; DegradationStates.Idx{i}=1; % RES & LOADS for simplicity assume non degradable
end
DegradationStates.Idx{7}=[1 2 3]; % Line G1-L1
DegradationStates.Idx{8}=[1 2 3]; % Line G1-L2
%% the actions on the components
%% Actions List for Each Component
Actions.Idx{1}=[1 2 3 4 5]; % GEN 1 has 3 OP levels + Corrective and Predictive actions [Pg1 Pg2 Pg3 PM CM]
Actions.Idx{2}=[1 2 3 4 5]; % GEN 2 has 3 OP levels + Corrective and Predictive actions [Pg1 Pg2 Pg3 PM CM]
Actions.Idx{7}=[1 2 3]; % Link G1-L1 Normal Operations, Corrective and Predictive [NN PM CM]
Actions.Idx{8}=[1 2 3]; % Link G1-L1 Normal Operations, Corrective and Predictive [NN PM CM]
Actions.Names{1}={'go2Pg1' 'go2Pg2' 'go2Pg3' 'PM' 'CM'}; % GEN 1 has 3 OP levels + Corrective and Predictive actions [Pg1 Pg2 Pg3 PM CM]
Actions.Names{2}={'go2Pg1' 'go2Pg2' 'go2Pg3' 'PM' 'CM'}; % GEN 2 has 3 OP levels + Corrective and Predictive actions [Pg1 Pg2 Pg3 PM CM]
Actions.Costs=[0 0 0 0 0 0 0 0; % OP action 1
0 0 0 0 0 0 0 0; % OP action 2
0 0 0 0 0 0 0 0; % OP action 3
10 10 0 0 0 0 15 15 ; % PM action 4
500 500 0 0 0 0 150 150 ]; % PM action 5
% NUMBER OF ACTIONS to EACH COMPONENT
Actions.N{1}=[5]; Actions.N{2}=[5];
Actions.N{3}=[1]; Actions.N{4}=[1];
Actions.N{5}=[1]; Actions.N{6}=[1];
Actions.N{7}=[1]; % assumes in this new case study that lines mainteinance is not perfomred by the generators agent
Actions.N{8}=[1]; % assumes in this new case study that lines mainteinance is not perfomred by the generators agent
% NUMBER OF STATES ASSOCIATED to EACH COMPONENT
States.N{1}=[4]; States.N{2}=[4];
States.N{3}=[3]; States.N{4}=[3];
States.N{5}=[3]; States.N{6}=[3];
States.N{7}=[3]; States.N{8}=[3];
%% Operational transition Probabilities
% Those defines the dynamic of the system operations,
%OperativeStates.Idx.C2 % State of Carge 1
Probabilities{3}=[0.400000000000000,0.300000000000000,0.300000000000000;0.300000000000000,0.300000000000000,0.400000000000000;0.200000000000000,0.400000000000000,0.400000000000000]; % Load 1 (random)
Probabilities{4}=[0.400000000000000,0.300000000000000,0.300000000000000;0.300000000000000,0.300000000000000,0.400000000000000;0.200000000000000,0.400000000000000,0.400000000000000]; % Load 2 (random)
Probabilities{5}=[0.500000000000000,0.100000000000000,0.400000000000000;0.300000000000000,0.300000000000000,0.400000000000000;0.100000000000000,0.400000000000000,0.500000000000000]; % Renewable 1 (random)
Probabilities{6}=[0.50,0.200000000000000,0.300000000000000;0.400000000000000,0.400000000000000,0.200000000000000;0,0.500000000000000,0.500000000000000]; % Renewable 2 (random)
Probabilities{7}=[0.90,0.08,0.020;0,0.97,0.03;0.1,0,0.9]; % line (driven by deg)
Probabilities{8}=[0.90,0.08,0.020;0,0.97,0.03;0.1,0,0.9]; % line (driven by deg)
%% DEG Probabilities
% Those are the trasition probabilities of action-controllable components
% each action has a Scomp x Scomp matix of trasition probabilities where Scom is the number of states of the specific component attribute
Probabilities{1}(:,:,1)=[0.980000000000000,0.0200000000000000,0,0;0,0.950000000000000,0.0500000000000000,0;0,0,0.900000000000000,0.100000000000000;0,0,0,0]; % Generator degradation action 1 (go to Pg1)
Probabilities{1}(:,:,2)=[0.970000000000000,0.0300000000000000,0,0;0,0.950000000000000,0.0500000000000000,0;0,0,0.900000000000000,0.100000000000000;0,0,0,0]; % Generator degradation action 2 (go to Pg2)
Probabilities{1}(:,:,3)=[0.950000000000000,0.0400000000000000,0.01,0;0,0.950000000000000,0.0400000000000000,0.01;0,0,0.9700000000000000,0.0300000000000000;0,0,0,0]; % Generator degradation action 3 (go to Pg3)
Probabilities{1}(:,:,4)=[1,0,0,0; 0.5,0,0.5,0; 0.5,0,0,0.5; 0,0,0,0]; % Generator degradation action 4 (PM)
Probabilities{1}(:,:,5)=[0,0,0,0; 0,0,0,0; 0,0,0,0; 0.15,0,0,0.85]; % Generator degradation action 5 (CM)
Probabilities{2} = Probabilities{1}; % Generator
% Probabilities{7}(:,:,1)=[0.90,0.08,0.020;0,0.97,0.03;0,0,0]; % Line G1-L1 degradation action 1 (notmal operation)
% Probabilities{7}(:,:,2)=[1,0,0; 0.5,0.5,0;0,0,0]; % Line G1-L1 degradation action 2 (PM)
% Probabilities{7}(:,:,3)=[0,0,0; 0,0,0; 0.1,0,0.9]; % Line G1-L1 degradation action 3 (CM)
% Probabilities{8}= Probabilities{7}; % Line G1-L2
🔗 参考文献
[1]张智.面向物联网的多层次无线感知识和识别系统[D].浙江大学,2012.DOI:CNKI:CDMD:1.1012.314180.
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