四元素
联合欧拉角查看
四元素
用一个实数合三个复数表示刚体的旋转运动。
四元数一般表示为：
其中 v=(x,y,z)是虚部，w是实部。
单位四元数 q=(w,v)=(w,x,y,z)。
特点：
紧凑（4个参数），无奇点，适合插值（球面线性插值Slerp）。
计算效率高（比矩阵乘法快）。
缺点
不直观，需归一化。
四元素的归一化
为什么必须归一化？
(1) 旋转的数学性质
旋转操作在数学上属于单位四元数（Unit Quaternion）的范畴。
只有模长为1的四元数才能保证：
旋转矩阵的正交性：旋转矩阵 R 满足
=I。
旋转角度的正确性：非归一化四元数会导致缩放效应。
(2) 物理意义
四元数的模长影响旋转的幅度：
模长=1：纯旋转（无缩放）。
模长≠1：旋转+缩放（不符合刚体变换需求）。
-- 正交无缩放旋转。
四元素的大小
[-1,1]
欧拉角转四元素
同一姿态的数据唯一性
1. 欧拉角
通常指按某种顺序（如 ZYX, XYZ 等）绕坐标轴的 3 次旋转。
对于同一个姿态，欧拉角通常不唯一，主要原因：
万向锁（奇异性）：在中间旋转 ±90° 时，内外轴对齐，导致无穷多组欧拉角表示同一姿态（一个自由度丢失）。
角度周期性：比如绕某个轴转 360° 的整数倍不影响姿态，可加减 360°。
不同的欧拉角顺序可以定义不同参数系统，但这里比较同一顺序时，某些情况还是多解（例如 ZYZ 欧拉角有双覆盖）。
结论：同一姿态对应多组数据（非唯一）。
2. 四元数（的二重覆盖）
单位四元数 q=(w,x,y,z)表示三维旋转。
对于同一旋转，q和 −q代表相同的旋转（因为四元数旋转公式 qvq−1 对 q 和 −q相同）。
因此每个旋转对应两个单位四元数（相差负号）。
通常我们通过限制 w≥0（或类似约束）来强制唯一性，但如果不加约束，非唯一。
结论：不加约束时，有两组数据（互为相反数）。
四元数1 = [w=0.0080947, x=0.70995, y=0.70319, z=-0.03767] 四元数2 = [w=-0.008095, x=-0.70995, y=-0.70319, z=0.03767]
上面的两个四元素表示同一个姿态吗？
是同一个姿态，出来符号相反，数据都相同。
使用四元素[w=0.0080947, x=0.70995, y=0.70319, z=-0.03767]转欧拉角和旋转矩阵：
使用结果的欧拉角转为四元素和欧拉角：
可见，四元素符号相反，绝对值相同。
但是同一个姿态的旋转矩阵，数据唯一。
3. 旋转矩阵
3×3 正交矩阵，行列式为 +1。
对于给定旋转，只有唯一一个旋转矩阵。
因为旋转矩阵是旋转算子在标准正交基下的矩阵表示，映射唯一（数学上 SO(3) 的矩阵表示是单值的）。
结论：唯一一组数据。
4. 轴角
用旋转轴单位向量 uu 和旋转角 θθ 表示，通常 u∈R3,∥u∥=1,θ∈[0,π]u∈R3,∥u∥=1,θ∈[0,π]。
对于同一个旋转：
如果限制θ∈[0,π]θ∈[0,π]，则当 θ=0θ=0 时，轴任意（不唯一）；当 θ∈(0,π)θ∈(0,π) 时，表示唯一（因为 uu 和 θθ 确定，且 uu 与 −u−u 配上 2π−θ2π−θ 不在 [0,π][0,π] 内）。
如果不限制θθ 的范围，则可用 (−u,−θ)(−u,−θ) 或 (u,θ+2kπ)(u,θ+2kπ) 表示相同旋转。
常用约定：θ∈[0,π]θ∈[0,π]，uu 为单位向量；此时除了 θ=0θ=0（零旋转）时不唯一，其它旋转唯一。
但若严格来说，零旋转这种退化情况会破坏“每个姿态都对应唯一数据”的条件。
结论：在常规约定（θ∈[0,π]）下，除了零旋转外唯一；否则多组数据。
