核方法在聚类与异常检测中的应用
在信号处理领域，许多问题都涉及识别能更好表示信号的子空间，而在数据中找到优质且具代表性的组或簇是解决这类问题的主要途径。核方法为解决这些问题提供了有效的手段，下面将详细介绍核方法在聚类、领域描述、子空间检测、异常变化检测以及统计假设检验等方面的应用。
1. 核聚类
核聚类主要通过两种方式对现有的聚类方法进行重构，一种是对度量进行“核化”，另一种是在特征空间中进行聚类。
1.1 度量的核化
在聚类算法中，计算点之间的距离是常见操作。通过将数据映射到高维特征空间 $\mathcal{H}$，可以在不明确知道映射函数 $\phi$ 或映射数据点的显式坐标的情况下计算距离。
-距离计算：
- $|\phi(x_i) - \phi(x_j)|{\mathcal{H}}^2 = (\phi(x_i) - \phi(x_j))^T(\phi(x_i) - \phi(x_j)) = \phi(x_i)^T\phi(x_i) + \phi(x_j)^T\phi(x_j) - 2\phi(x_i)^T\phi(x_j) = K(x_i, x_i) + K(x_j, x_j) - 2K(x_i, x_j)$
- 对于 RBF 核，给定参数 $\sigma$，其平方测地距离为 $|\phi(x_i) - \phi(x_j)|{\mathcal{H}}^2 = 2[1 - \exp(-\frac{|x_i - x_j|{\mathcal{X}}^2}{2\sigma^2})] = 2(1 - K(x_i, x_j))$
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