Abstract— 毫米波 (mmWave) 传播的稀疏和高度定向特性为高效信道估计带来了挑战和机遇。我们通过将问题表述为无网格多维 (M-D) 谱估计问题，解决了毫米波多输入多输出 (MIMO) 系统中的稀疏参数化信道估计问题。该信道被建模为在连续到达角 (AoA) 和离开角 (AoD) 域中参数化的导向矢量（原子）的稀疏线性组合。为了避免网格失配并提高分辨率，我们采用原子范数 (AN) 框架，并明确地处理基于结构化导频的测量和异构阵列部署。
我们推导了无噪声场景下的恢复条件，将其与阵列几何形状和导频设计联系起来。仿真表明，我们的方法在无噪声和噪声场景下，在同等复杂度的估计精度方面均优于最先进的 (SotA) 方法，使其适用于具有不规则或受限阵列布局的实际毫米波系统。
Index Terms— 参数化信道估计，3-D 传播角，M-D 谱估计，ℓ 0 -AN \ell_0\text{-AN}ℓ0-AN，ℓ 1 -AN \ell_1\text{-AN}ℓ1-AN，3-D 异构阵列，MIMO，mmWave。
A. Motivation
对更高传输数据速率的持续需求以及连接用户和设备数量的指数级增长是未来无线通信系统的主要驱动力 [1]。为了满足这些要求，使用多输入多输出 (MIMO) 是至关重要的。然而，仅靠传统 MIMO 实现的频谱效率不足以满足当前的需求，这促使人们探索未被充分利用的频段，例如毫米波 (mmWave) 频段。在毫米波频段运行还可以部署日益密集的体积天线阵列，从而进一步增强空间分辨率和复用能力。然而，这些机遇伴随着在如此大规模毫米波系统中准确表征和估计信道的根本挑战。
毫米波系统中的信道估计（通常涉及非常大的天线阵列）仍然特别复杂 [2]。毫米波信道的关键传播特性是其固有的稀疏性和高方向性，这可以被利用来进行有效的信道估计 [3]。在波束空间域中，信道矩阵是稀疏的，与天线总数相比，其特点是仅有少数几个主导奇异值 [2], [4], [5]。对于许多实际的毫米波应用，例如鲁棒的低复杂度波束对准或多维 (multi-dimensional，M-D) 高分辨率空间感知，识别波束空间结构（包括到达角 (AoA) 和离开角 (AoD) 参数）至关重要。然而，主要的挑战在于准确提取这些 M-D 角度信息（本质上是一个 M-D 谱估计问题），同时避免基失配和有限分辨率问题 [6]。
受这些挑战的启发，在这项工作中，我们解决了 M-D 参数域中的信道估计问题，其目标是恢复
- i ) i)i)信道矩阵，表示为导向矢量的稀疏线性组合，
- 以及i i ) ii)ii)相关的d L d_{\text{L}}dL维频率参数，该参数编码了嵌入在导向矢量中的 AoD 和 AoA 信息。
与大多数局限于 1 维或 2 维 (2-D) 公式的现有研究不同，我们的方法适用于任意维度。这种通用性在通常会导致更高维模型的复合阵列部署的新兴传播场景中尤为相关，例如，平面发射阵列结合线性接收阵列产生一个 3-D 问题，而立方阵列 [7] 结合线性阵列产生一个 4-D 公式。此外，3-D 部署通常嵌入在不遵循均匀格子的体积空间表面中，以下称为异构阵列。结果是，该阵列不能被建模为均匀的 3-D 格子，必须妥善处理这种结构约束。
通过在此更广泛的设置中开发基于原子范数 (AN) 的恢复保证，我们的工作建立了一个统一的框架，用于无网格参数化信道估计，可直接应用于 3-D 及更高维度。
B. Related work
基于 AN 的参数化信道估计的一个自然起点是 2-D 设置 [5], [28]–[31]，对应于线性发射和接收阵列，其中信道可以通过 1-D 导向矢量的组合来建模，用于 1-D AoA 和 AoD 的联合估计。
从 [5], [28] 开始，他们通过 2-D 块 Toeplitz 矩阵制定 ANM 问题，使用凸 [5], [28] 和非凸 [5] 方法来处理非均匀部署。
[29] 中提出了另一种均匀 2-D 方法，该方法利用多测量矢量并引入重加权 AN 最小化以增强角分辨率。
在 [30] 中，同步 OMP (SOMP) 算法与 AN 细化相结合以实现超分辨率。相比之下，[31], [32] 分别使用 MUSIC 和 Root-MUSIC 来提取感兴趣的传播参数。
超越二维，[33] 解决了一个 3-D 参数估计问题，该问题被重新表述为混合 1-D 和 2-D AN 问题。得到的 SDP 涉及一个 Toeplitz 矩阵和一个 2 级 Toeplitz 矩阵。
其他 M-D 方法在 [34], [35] 中提出，其中问题的解决要么分不同阶段进行——
- 首先，1-D AN 检索 AoD，然后 2-D AN 估计 AoA 和路径增益，
- 要么通过解耦 2-D Toeplitz 矩阵来解决。
类似地，[36] 通过求解秩最小化问题而不是其凸松弛来促进角稀疏性，并且 3-D 参数被部分解耦为两组。
最后，[37] 研究了一个更高维的场景，其中信道在 5-D 中建模，因此在 ANM 中使用了 5 级 Toeplitz 矩阵。传播参数被解耦为四个独立的优化问题：用户侧的 AoDs，基站侧的 AoAs，可重构智能表面 (RIS) 角度估计和时延估计。为了在系统维度增加时降低复杂度，提出了一种低复杂度多级 OMP (MS-OMP) 算法，有效地将原始 5-D 问题分解为多个通过 OMP 解决的子问题。
C. Contributions
在这项工作中，我们解决了毫米波中的无网格 M-D 参数化信道估计问题，重点关注从均匀结构中出现的异构阵列部署，其中一些天线元件缺失或不活跃。发射机和接收机处的阵列都可以在维度d tx ≤ 3 \text{d}_{\text{tx}} \leq 3dtx≤3和d rx ≤ 3 \text{d}_{\text{rx}} \leq 3drx≤3中部署天线，从而导致维度为d L = d tx + d rx ≤ 6 \text{d}_{\text{L}} = \text{d}_{\text{tx}} + \text{d}_{\text{rx}} \leq 6dL=dtx+drx≤6的复合频率参数。
从将参数化信道估计问题表述为导向矢量 [4], [5]（也称为原子）的稀疏组合的复域线性测量（linear measurement in the complex domain）开始，这种设置自然地产生了一个无网格 M-D 谱估计问题。核心挑战是建立能够从基于导频的线性测量（linear pilot-based measurements）中唯一且可靠地恢复底层稀疏参数化模型的条件。
正如上一小节已经强调的那样，在基于 AN 的 1-D 和 2-D 情况下的无网格超分辨率方面已经取得了重大进展，其中 ANM （AN minimization）公式和恢复保证已经很好地建立 [17]–[21]。然而，对于更高维的情况 (d L ≥ 3 \text{d}_{\text{L}} \geq 3dL≥3)，理论理解仍然有限。
- [22] 提供了均匀设置下充分恢复条件的首次推导，
- 最近 [25] 提出了一种低复杂度方法。
- [23], [24] 推导了更强和更紧的保证，既适用于均匀情况，也适用于非均匀场景（其中采样算子本身充当测量矩阵）。
然而，具有任意和现实测量矩阵的一般情况——例如由 M-D 阵列部署中基于导频的传输引起的情况——仍然未得到解决。这一空白正是我们在本工作中要解决的目标。
