6.2 牛顿-欧拉递推动力学
6.2.1 引言：从能量观点到力与力矩平衡
在机器人动力学建模领域，牛顿-欧拉法与前一节所述的拉格朗日法具有同等重要的地位，但提供了截然不同的视角和实现路径。拉格朗日法基于系统的整体能量（动能与势能）和标量函数，通过变分原理推导出运动方程，概念统一且能自动消除不做功的内力。然而，其推导过程涉及对复杂能量表达式求导，在用于高自由度机器人实时控制时可能面临计算量大的挑战。牛顿-欧拉法则回归经典力学的基本原理：它直接应用牛顿第二定律（描述质心平动）和欧拉方程（描述绕质心转动），对每个连杆进行独立的受力分析。其核心优势在于通过巧妙的递推形式组织计算，在计算机上实现时具有极高的计算效率，是许多实时机器人动力学仿真与控制软件的首选算法。
6.2.2 牛顿-欧拉法的基本原理
牛顿-欧拉法的思想是将机器人视为由多个刚体连杆通过运动副（关节）连接而成的链式系统。它为每个连杆建立独立的动力学方程。对于任意连杆iii，设其质量为mim_imi，质心在连杆坐标系下的惯性张量为ICi\mathbf{I}_{C_i}ICi，其运动遵循以下两个基本方程：
牛顿方程（平动方程）：
fi=miv˙Ci \mathbf{f}_i = m_i \dot{\mathbf{v}}_{C_i}fi=miv˙Ci
其中，fi\mathbf{f}_ifi是作用在连杆iii质心上的合外力，v˙Ci\dot{\mathbf{v}}_{C_i}v˙Ci是连杆iii质心的绝对线加速度。欧拉方程（转动方程）：
ni=ICiω˙i+ωi×(ICiωi) \mathbf{n}_i = \mathbf{I}_{C_i} \dot{\boldsymbol{\omega}}_i + \boldsymbol{\omega}_i \times (\mathbf{I}_{C_i} \boldsymbol{\omega}_i)ni=ICiω˙i+ωi×(ICiωi)
其中，ni\mathbf{n}_ini是作用在连杆iii上关于其质心的合外力矩，ωi\boldsymbol{\omega}_iωi和ω˙i\dot{\boldsymbol{\omega}}_iω˙i分别是连杆iii的绝对角速度和角加速度。
计算的关键和难点在于确定每个连杆的绝对运动量(vCi(\mathbf{v}_{C_i}(vCi，v˙Ci\dot{\mathbf{v}}_{C_i}v˙Ci，ωi\boldsymbol{\omega}_iωi，ω˙i)\dot{\boldsymbol{\omega}}_i)ω˙i)以及作用在其上的合外力与力矩fi\mathbf{f}_ifi，ni\mathbf{n}_ini。这些量通过关节处的约束力/力矩相互耦合。牛顿-欧拉递推算法通过两个清晰的步骤解决这一问题：外推（前向递推）计算运动量，内推（后向递推）计算力与力矩。
6.2.3 递推算法：外推（前向递推）
外推过程从机器人基座（连杆0）开始，向末端执行器逐连杆递推，利用关节运动信息计算每个连杆的角速度、角加速度以及质心的线加速度。这是运动学速度与加速度的传播过程。
假设已知：
- 基座的线加速度v˙0\dot{\mathbf{v}}_0v˙0（对于固定基座，通常为重力加速度g\mathbf{g}g或零）和角速度ω0\boldsymbol{\omega}_0ω0（通常为零）。
- 所有关节的位置qiq_iqi、速度q˙i\dot{q}_iq˙i和加速度q¨i\ddot{q}_iq¨i
