【信息科学与工程学】【数据科学】第一百八十八篇 线性/非线性泛函分析01

1. 按代数性质分类（最核心的分类）

A. 线性泛函 (Linear Functionals)

这是泛函分析的基石。它满足“叠加原理”：

• f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)

• 代表定理：​Riesz 表示定理指出，在希尔伯特空间（Hilbert Space）中，所有的连续线性泛函都可以表示为内积的形式。

• 常见例子：

  • 积分泛函：​ F[y]=∫ab​y(x)dx（函数在某个区间下的面积）。

  • 点赋值泛函（求值映射）：​ F[y]=y(x0​)（取出函数在 x0​处的纵坐标）。

  • 傅里叶系数泛函：​ F[y]=y^​(k)（提取某频率的分量）。

B. 非线性泛函 (Nonlinear Functionals)

不满足叠加原理的泛函。在变分法、物理和深度学习中占主导。

• 常见例子：

  • 范数/模长：​ F[y]=∥y∥（虽然范数不是线性的，但它是泛函）。